[고1 기말 2회] 고차방정식 시험 적중 2문제

수식이 깨지는 학생들은 다운로드하시면 됩니다.

고1 수학(상) 기말 적중문제 2회차.pdf

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※ 티스토리 블로그에서 소괄호가 깨지는 현상이 나타내서, 소괄호를 대괄호 [ ] 이렇게 대체했습니다.

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개념 학습이 필요한 문제이다. 문제를 천천히 읽어보고, 개념을 학습하자.

문제1) 방정식 $ x^{3}=1 $ 의 한 허근을 w라고 할 때, $ 4w^{3}+3w^{2}+2w=aw+b $이다. 실수 a, b의 값은? 

 

★개념 학습

$ x^{3}=1 $ 의 근을 구해본다.

$ (x-1)(x^{2}+x+1)=0 $ 

한 허근을 구하라고 했으니, x=1 은 실근이니 패스, $ x^{2}+x+1=0 $에서 2개의 허근이 나온다. 그 중 한 허근을 w라 하자.

① $ w^{3}-1=0 $ [방정식에서 해나 근을 대입하면 식이 성립한다.]

② $ w^{2}+w+1=0 $ [1번의 이유와 같다. 허근은 $ x^{2}+x+1=0 $ 여기서 발생하기 때문이다.]

③ $ x^{2}+x+1=0 $ 의 두 허근을 $ w, \overline{w} $ 라 하자.

$ w+\overline{w}=-1 $

$ w\overline{w}=1 $

[근과 계수의 관계를 사용하면 두 근의 합 / 곱을 구할 수 있다.]

기본적인 공식이며, 대부분의 문제는 1~3번 까지만 학습이 되면 풀 수 있다.

다시 문제로 돌아가자.

 

[출제율 80%, 난이도 ☆☆☆★]

문제1) 방정식 $ x^{3}=1 $ 의 한 허근을 w라고 할 때, $ 4w^{3}+3w^{2}+2w=aw+b $이다. 실수 a, b의 값은?

 

정답) a=-1, b=1

해설)

step1) $ w, w^{2}, w^{3} $ 서로의 관계를 잘 파악한 후 최대한 차수를 간단히 해보자.

$ x^{3}-1=0 $  → $ (x-1)(x^{2}+x+1)=0 $

$ w^{3}=1 $, $ w^{2}+w+1=0 $ → $ w^{2}=-w-1 $

 

step2) $ w^{3}=1 $, $ w^{2}$ 대신 -w-1을 사용해서 식을 표현해 보자.

$ 4w^{3}+3w^{2}+2w=aw+b $

4 +3[-w-1]+2w= -w+1 = aw +b

따라서 a=-1, b=1 이다.

 

 

[출제율 90%, 난이도 ☆☆☆★]

문제2) 사차방정식 $ (x^{2}-3x)^{2}+5(x^{2}-3x)+6=0 $의 모든 실근의 곱은?

 

정답) 2

해설) 고차방정식에서 똑같은 항들이 보이면, 치환을 하는 것이 쉬운 풀이법이다.

step1) $ x^{2}-3x=A $

$ A^{2}+5A+6=0 $

$ (A+2)(A+3)=0 $

 

step2) 80% 이상의 웬만한 문제는 치환을 했으면, 인수분해가 된다. 인수분해를 잘했으니, 대입을 해보자.

$ (x^{2}-3x+2)(x^{2}-3x+3)=0 $

전형적인 사차 방정식이고, 근은 4개가 나올 것 같다. 문제를 읽어보면, 모든 실근의 곱을 구하라고 했으니

4개의 해 중에서, 실근과 허근이 번갈아서 나올 수도 있고, 4개 다 실근일 수도 있고 아직 확실히 알지 못한다.

$ x^{2}-3x+2 =0 $ → $ (x-1)(x-2)=0 $ 로 해가 x=1 or x=2 2개의 실근이 나왔다.

$ x^{2}-3x+3=0 $ → 판별식 $ b^{2}-4ac $ 의 부호를 확인하니, 9-12 < 0 이므로 2개의 허근이 나오겠다.

따라서 모든 실근의 곱은 1 × 2 = 2가 된다.

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- 끝 -