[중3 기본] 4-5. 이차방정식 활용[2] 완벽 정복하기!

하이루~ 이번 시간 활용 2번째 시간이다. 전 시간 근의 공식 부분 꼭 복습이 필요하니, 근의 공식을 모르는 학생들은 가볍게 개념만 읽고 올 수 있도록 하자.

수식이 깨지는 학생들은 다운로드 하시면 됩니다.

※ 티스토리 블로그에서 소괄호가 깨지는 현상이 나타내서, 소괄호를 대괄호 [ ] 이렇게 대체했습니다.

1. 이차방정식의 근의 개수 결정

2. 두 근이 주어졌을 때, 이차방정식 구하기

이차방정식 $ ax^{2}+bx+c=0 $ 의 근의 개수는 $ b^{2}-4ac $ 의 부호에 의해서 결정된다.

전 시간에 배웠던 근의 공식을 생각해보자.

근의 공식 : 이차방정식 $ ax^{2}+bx+c=0 $ 의 식이 있다면,

해는 $ x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $ 이 되는 것을 알았다.

이때 이차방정식의 해는 2개가 되는데,

$ x=\frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $ or

$ x=\frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $

여기서 혹시 루트 안에 있는 $ b^{2}-4ac $ 의 값이 0 이라면?　

[1] $ b^{2}-4ac =0 $ 루트 안의 값이 0이 되고, x= -b/ 2a가 되어서, 해가 1개가 된 것처럼 보인다. 사실은 중근이 되었다.

[2] $ b^{2}-4ac >0 $ 이라면, 루트 안의 값이 잘 살아있어서 해는 정상적으로 2개가 된다. 수학적으로는 서로 다른 두 근을 갖는다라고 말한다.

[3] $ b^{2}-4ac <0 $ 이라면, 루트 안의 값이 음수가 되므로, 수학에서는 루트 안의 값이 음수가 되는 수는 없다고 한다.

근의 공식을 써서 해를 구했는데 예를 들어,

$ x=\frac{-3\pm \sqrt{-6}}{6} $ 이라는 답이 나왔다면, 루트 안의 값이 음수이기 때문에, 해는 없다고 한다.

여기서 처음 배워서, 중3-1 이차함수 후반부 / 고등학교 방정식에서 까지 유용하게 잘 써먹는 개념이다.

굳이 이 풀이대로 풀지 않아도 문제는 풀리지만, 시간 절약이나 풀이과정이 세련되어 보이니 연습할 수 있도록 하자.

[1] 두 근이 a, b이고, $ x^{2} $ 의 계수가 1인 이차방정식은

k [x-a][x-b] =0에 따라

1 [x-2] [x-3]=0

[x-2][x-3]=0 이므로 $ x^{2}-5x+6=0 $ 이라고 할 수 있다.

예제 1) 두 근이 -2, 4이고, $ x^{2} $ 의 계수가 -3인 이차방정식은

-3 [x+2][x-4]=0

[2] 중근이 a 이고, $ x^{2} $ 의 계수가 k인 이차방정식은

$ k(x-a)^{2}=0 $ 이 된다.

예제 2) $ x^{2} $ 의 계수가 3이고, 중근이 -4이다.

$ 3(x+4)^{2}=0 $

- 끝 -