시험에 무조건 나오는 이차방정식 정복하기!
Contents
1. 이차방정식 뜻
2. 이차방정식의 해
3. 이차방정식의 해 [응용]
4. 인수분해를 이용한 이차방정식 풀이
5. 이차방정식의 중근
수식이 깨지는 학생들은 다운로드하시면 됩니다.
※ 티스토리 블로그에서 소괄호가 깨지는 현상이 나타내서, 소괄호를 대괄호 [ ] 이렇게 대체했습니다.
[출제율 90%, 난이도 ☆☆☆★]
문제1) $ 2(3x-2)^{2}+1=ax^{2}-3x+4 $가 x에 대한 이차방정식일 때, 다음 중 수 a의 값이 될 수 없는 것은?
① -18
② +4
⓷ +18
⓸ -5
⓹ 0
정답) ⓷ +18
해설) 방정식이 이차방정식이 되려면, 우변을 0으로 만들고 좌변으로 다 이항 했을 때, 이차항이 살아있어야 한다.
step1) 등식을 전개해서 이항까지 완료하자.
$ 2(9x^{2}-12x+4)+1-ax^{2}+3x-4=0 $
step2) 우변을 0으로 만들었다. 조금 더 계산을 해서 이차항을 사라지지 않게 하자.
$ (18-a)x^{2}-21x+5=0 $
이 때, a가 18이 되면 이차항이 사라지므로, a는 18이 아니면 된다.
따라서 a ≠ 18
a ≠ 18
[출제율 90%, 난이도 ☆☆☆★]
문제2) 이차방정식 $ x^{2}+3x+1=0 $의 한 근을 m이라 할 때, $ 3m^{2}+9m-7 $의 값을 구하면?
정답) -10
해설) 이차방정식이 한 근이 m이라고 나오면 일단 대입해서 풀어내는 문제이다.
※대부분의 학생들이 이런 유형에서 $ x^{2}+3x+1=0 $를 인수분해하거나 근의 공식을 써서 해를 구해서 풀어내려고 하는 학생들이 있는데, 그렇게 해서 답은 나오겠으나 출제자의 의도는 아니었다.
step1) $ x^{2}+3x+1=0 $의 한 근이 x=m 이므로 대입한다.
$ m^{2}+3m+1=0 \to m^{2}+3m=-1 $
step2) $ 3m^{2}+9m-7 $ 를 구하라고 했다. 한 번에 다 구할 수 있으면 좋겠으나,
$ m^{2}+3m=-1 $ 라는 조건으로 구해보자.
$ 3m^{2}+9m-7=3(m^{2}+3m)-7 $
$ =3\times (-1)-7 = -10 $
[출제율 90%, 난이도 ☆☆☆★]
문제3) 이차방정식 $ x^{2}-5ax+a^{2}=0 $ 의 한 근이 -1일 때, $ a^{2}+5a+6$의 값은? [단, a는 상수]
정답)
해설) 방정식의 해가 나왔으므로, 대입해서 a를 구해보자.
step1) $ x^{2}-5ax+a^{2}=0 $ 에 x=-1을 대입하면,
$ 1+5a+a^{2}=0 $ 이 나오게 된다.
$ a^{2}+5a=-1$ 이므로,
$ a^{2}+5a+6=-1+6=5$
[출제율 90%, 난이도 ☆☆★★]
문제4) 이차방정식 $ x(x+1)=6 $ 의 두 근 중 작은 근이 이차방정식 $ 2x^{2}+(k+1)x+2k=0 $의 한 근일 때, 상수k의 값은?
정답) 15
해설)
step1) $ x(x+1)=6 $ 의 해를 구하자. 많은 학생들이 바로 x=0 or x=-1 이렇게 하는 학생들이 있는데, 실수하지 말자.
$ x^{2}+x-6=0 $는 인수분해가 된다.
$ (x+3)(x-2)=0 $
x=-3 or x=2
step2) 2개의 해 중에서 작은 근이 x=-3이다. x에 -3을 대입하여 k를 구하자.
18- 3 [k+1] +2k =0
k=15
[출제율 90%, 난이도 ☆☆☆★]
문제5) 이차방정식 $ x^{2}-4x+2k-6=0 $이 중근을 가질 때, 상수 k의 값은?
정답) 5
★개념
이차방정식이 중근을 가진다는 것은 [완전제곱식]= 0 이렇게 나와야 한다. 좌변이 완전제곱식이 된다는 말이다.
조금만 연습해 보자.
① $ x^{2}+2x+? $ → 완전제곱식이 되려면, 일차항의 계수 ÷2를 한 다음 제곱한 수가 ?에 들어가야 한다.
? =1
② $ x^{2}-6x+? $ → 일차항의 계수 -6의 반은 -3이고, -3을 제곱한 수가 ?가 된다.
? = 9
해설)
[방법1] $ x^{2}-4x+2k-6=0 $ 의 일차항의 계수는 -4이고 반은 -2이며 제곱한 값 4가 상수항이 되어야 한다.
4= 2k -6
10 = 2k
k=5
[방법2] 근의 공식을 배운 학생들은
$ ax^{2}+bx+c=0 $ 의 근이 $ x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $ 라는 것을 알고 있다.
$ b^{2}-4ac $ 의 부호에 따라 해의 개수가 결정이 되는데,
중근은 $ b^{2}-4ac=0 $ 인 것을 이용한다.
$ (-4)^{2}-4(2k-6)=0 $
k=5
- 끝 -