[고1 도형의 방정식 4회] 시험에 무조건 나오는 문제 [+개념복습]

시험에 무조건 나오는 도형의 방정식 정복하기!

 

Contents

1. 두 점 사이의 거리

2. 두 점 사이의 거리

3. 거리의 최댓값 최솟값

4. 평행사변형 성질

5. 도형의 방정식 

 

수식이 깨지는 학생들은 다운로드하시면 됩니다.

고1 수학(상) 도형의 방정식 4회차.pdf

0.04MB

 

 

※ 티스토리 블로그에서 소괄호가 깨지는 현상이 나타내서, 소괄호를 대괄호 [ ] 이렇게 대체했습니다.

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[출제율 70%, 난이도 ☆☆★★]

문제1) 세 점 A [x], B [3], C [4]에 대하여  $ \overline{AB}+\overline{AC}=9 $ 를 만족시키는 x의 값 중에서 양수를 a, 음수를 b라 할 때, a+b의 값을 구하여라.

 

정답) 7

해설)

step1) x의 값이 양수일 때,

$ \overline{AB}+\overline{AC}=9 $ 

B, C좌표보다 오른쪽에 있어야 한다. [더 커야 한다.]

x-3 + x-4 = 9

2x -7 = 9

2x = 16

x=8

 

step2) x의 값이 음수일 때,

$ \overline{AB}+\overline{AC}=9 $ 가 되려면 B, C 좌표보다 왼쪽에 있는 음수일 경우도 있다.

3-x + 4-x = 9

7-2x=9

x=-1

따라서 a+b=7

 

 

[출제율 90%, 난이도 ☆☆☆★]

문제2) 두 점 A [-2, 1], B [a, -3] 사이의 거리가 $ 4\sqrt{2} $ 되도록 하는 모든 실수 a의 값의 합을 구하시오.

 

 

정답) -4

해설) 전형적인 거리 공식이다. 그냥 외우도록 하자.

$ \sqrt{(a+2)^{2}+(-3-1)^{2}}=4\sqrt{2} $

$ \sqrt{a^{2}+4a+4+16}=\sqrt{32} $

$ a^{2}+4a-12=0 $

$ (a-2)(a+6)=0 $

따라서 a=2 or -6이다.

 

 

[출제율 80%, 난이도 ☆☆★★]

문제3) 두 점 A [4, -1], B [3, 1] x축 위의 점 P에 대하여 $ \overline{AP}^{2}+\overline{BP}^{2} $ 의 최솟값을 구하시오.

 

 

정답) 5/2

해설) 수학에서 최솟값, 최댓값이 나오면 90% 이상이 이차함수 최대 최소 유형이다. 시험 무조건 나올 유형이다.

step1) x축 위의 점 P를 [ a, 0]이라 하자.

$ \overline{AP}^{2}+\overline{BP}^{2} $를 구한다.

$ (a-4)^{2}+1+(a-3)^{2}+1$

$2a^{2}-14a+27$

 

step2) 이차함수 최대 최소 유형으로 풀어내자.

$ 2(a^{2}-7a+\frac{49}{4}-\frac{49}{4})+27 $

$ 2(a-\frac{7}{2})^{2}-\frac{49}{2}+\frac{54}{2}$

a=7/2 일 때, 최솟값 5/2

 

 

[출제율 90%, 난이도 ☆☆☆★]

문제4) 네 점 A [2, 6], B [a, 3], C [4, b], D [6, 5]를 꼭짓점으로 하는 사각형 ABCD가 평행사변형일 때, 실수 a, b에 대하여 a+b의 값을 구하시오.

 

정답) 2

해설) 평행사변형의 성질로, 대각선의 중점이 같다는 성질을 이용하자.

$ \overline{AC}, \overline{BD $ 의 중점이 같다.

$ \overline{AC}=(3, \frac{6+b}{2}), 
\overline{BD}=(\frac{a+6}{2}, 4) $

 

$ \frac{6+b}{2}=3, \frac{a+6}{2}=4 $

a=0, b=2

따라서 a+b=2

 

 

 

[출제율 70%, 난이도 ☆☆★★]

문제5) x, y에 대한 방정식 $ xy+x+y-2=0 $ 을 만족시키는 정수 x, y를 좌표평면 위의 점 [x, y]로 나타낼 때, 이 점들을 꼭짓점으로 하는 사각형의 두 대각선의 길이를 곱을 구하시오.

 

 

정답) 40

해설) $ xy+x+y-2=0 $ 의 해를 구하자.

step1) $ (x+1)(y+1)=3 $ 이라고 인수분해를 할 수 있어야 한다.

x, y가 정수라고 했으므로,

 

x+1	y+1
3	1
1	3
-3	-1
-1	-3

 

각각의 해를 구해보자.

[2, 0], [0, 2], [-4, -2], [-2, -4]

 

step2) 좌표평면에 점을 찍고 대각선의 길이를 구해본다.

[좌표평면 그림 그리기]

 

[2, 0]과 [-4, -2]가 대각선이 되고, 길이를 구하자.

$ \sqrt{(-4-2)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{40}=2\sqrt{10} $

 

[0, 2]와 [-2, -4]가 대각선이 된다.

$ \sqrt{(-2-0)^{2}+(-4-2)^{2}}=2\sqrt{10} $

따라서 두 대각선의 곱은 40

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- 끝 -