하이루~ 전 시간에 일차방정식과 일차함수 관계 배웠는데, 함수 자체를 싫어하는 학생들은 굉장히 힘들어했을 것이고, 내용 자체가 크게 어렵지 않아서 잘 따라온 학생들도 있었을 것 같아. 이번 시간은 고1 수학 상에서 한 번 더 배우게 되는데, 중등 직선의 방정식 가볍게 배워보자. 앞으로 수학을 배우면서 가장 많이 나오는 유형 중 하나야.
※ 수식이 깨지는 학생들은 다운로드
※ 티스토리 블로그에서 괄호 오류가 나서 소괄호를 대괄호로 썼습니다.
Contents
1. 직선의 방정식
2. 기울기와 y절편이 주어질 때
3. 기울기와 한 점이 주어질 때
4. 서로 다른 두 점이 주어질 때
5. x절편, y절편이 주어질 때
1. 직선의 방정식
전 시간에 일차방정식과 일차함수 관계를 구하면서 직선의 방정식이란 무엇인지 배웠다.
간단히 설명하면, ax +by +c =0을 좌표평면에 표현했을 때, 나오는 직선의 그래프를 말하는데,
우리는 ax +by +c =0 보다는 적절한 식의 변형을 통해서 y = ??? 으로 표현하는 것이 더 쉽다는 것을 알아냈다.
| *참고) y = ax +b [a≠0] 기울기는 a이고, y절편은 +b가 된다. |
2. 기울기와 y절편이 주어질 때
기울기가 a이고, y절편이 b인 직선의 방정식은 y =ax +b 가 된다.
예제1) 기울기가 -5이고, y절편이 -10인 직선의 방정식을 구하라.
y = -5x -10
3. 기울기와 한 점이 주어질 때
조금 더 어려워졌다. 기울기와 한 점이 나와 있다면, 약간의 연산을 거쳐야 한다.
예제2) 기울기가 2이고, [1, 3]을 지나는 직선의 방정식을 구하여라.
일단 기울기가 2라고 했으므로,
y = 2x +b
우리의 목표는 b를 구하는 것이다.
※ 수학에서는 함수가 어떤 점을 지난다. 아니면 어떤 점이 함수 위에 있다. 라고 한다면, 대입을 하라는 말이다.
y = 2x +b가 [1, 3]을 지나므로, x, y에 알맞게 대입해 본다.
3 = 2 +b
b = 1
따라서 y = 2x +1
4. 서로 다른 두 점이 주어질 때
난이도가 더 어렵다. 사실 y절편 구하는 것은 쉬운데, 기울기를 구하는 것이 까다로워서 이 부분은 잘 학습이 되어야 한다.
예제 3)두 점 [4, -1], [2, 3]을 지나는 직선의 방정식을 구하라.
우리의 목표는 y = ax +b에서 a와 b를 구하는 것이다.
이 문제를 푸는 방법은 여러 가지가 있다. 첫 번째 방법은, 추천하는 방법은 아닌데,
방법 1)
y = ax +b가 [4, -1], [2, 3]을 지나므로, 대입을 한다.
-1 = 4a +b
3 = 2a +b
두 식을 연립방정식 한다. 두 위아래 식을 빼보자.
-4 = 2a
a = -2 가 나왔으면, 두 식 중 편한 식에다 a=-2를 대입하여 b를 구한다.
3 = -4 +b
b=7
따라서 y= -2x +7
방법 2)위의 방정식 마찬가지로 기울기와 y절편을 구한다.
step1) 기울기 = y의 변화량 / x의 변화량이라고 배웠다.
두 점 [4, -1], [2, 3]을 지나는 방정식의 기울기는
3-[-1] / 2-4 = -2이다.
step2) 기울기가 -2이므로, y = -2x +b 라 두고, 두 점 중 편한 식을 대입해서 b를 구한다. 쌤은 [2, 3]을 대입해 보겠다.
3 = -4 +b
b = 7
따라서 직선의 방정식은 y = -2x +7 이 된다.
5. x절편, y절편이 주어질 때
용어 복습을 해보자.
x절편 : 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표 [y=0]
y절편 : 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표 [x=0]
예제 4) x절편이 3, y절편이 9인 두 직선의 방정식을 구하여라.
방법1) 우리의 목표는 y =ax +b인데, y절편이 나와있다.
y = ax +9
x절편은 y=0을 대입했을 때 나오는 x값이 3이므로, 0 = 3a +9 따라서 a=-3이 된다.
y = -3x +9
방법2) x절편은 [3, 0], y절편은 [0, 9]이다.
아까 예제 3번과 같이 두 점을 이용하여 기울기를 구한다.
step1) 9-0 / 0-3 = -3
y = -3x +b
step2) [3, 0], [0, 9] 두 점 중 편한 식 넣어서 b를 구한다.
9 = b
따라서 y = -3x +9
일차함수 단원도 거의 마무리가 되어가고 있단다. 다음 시간 일차방정식의 그래프와 연립방정식의 해 단원만 공부하면 마무리가 되겠다. 조금만 더 힘내서 중2-1 끝내보자!
- 끝 -
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