[고1 평면좌표 복습 1회] 두 점 사이의 거리 개념 + 빈출문제 정리하기!

시험에 무조건 나오는 두 점 사이의 거리 정복하기!

 

Contents

1. 수직선에서 두 점 사이의 거리

2. 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리

3. 삼각형 세 변의 길이와 모양

4. 거리의 최솟값 최댓값

 

 

수식이 깨지는 학생들은 다운로드하시면 됩니다.

고1 평면좌표 모든개념 + 대표문제.pdf

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※ 티스토리 블로그에서 소괄호가 깨지는 현상이 나타내서, 소괄호를 대괄호 [ ] 이렇게 대체했습니다.

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1. 두 점 사이의 거리

 

1) 수직선에서 두 점 사이의 거리

 

수직선 위의 두 점 $ A(x_{1}), B(x_{2}) $ 사이의 거리는 선분 AB라 할 수 있고, 기호로는 $ \overline{AB} $ 이렇게 표현 한다.

$ \overline{AB} $ 를 구하라고 한다면, 선분 AB 사이의 거리를 구하면 된다.

$ \overline{AB}=\left|x_{2}-x_{1} \right| $

공식을 외우기 싫은 학생은, 수직선에 좌표를 찍어두고 무조건 큰 수에서 작은 수를 빼면 된다.

 

※거리는 절대 음수가 될 수 없다.

 

[출제율 50%, 난이도 ☆☆☆★] 두 점 사이의 거리

예제1) 수직선 위의 두 점 A [-2], B [10] 사이의 거리를 구하여라.

 

 

정답) 12

해설) $\overline{AB}=\left|10-(-2) \right|=12 $

→ 딱히 공식을 쓰지 않고, 수직선에 그려서 큰 수에서 작은 수를 빼도 된다.

 

 

예제2) 수직선 위의 두 점 A, B 사이의 거리가 7이다. A의 좌표가 3일 때, B의 좌표를 구하여라.

 

 

정답) B [-4] 또는 B [10]

해설) B의 좌표를 x라고 하면  $ \left|x-3 \right|=\pm 7 $ 에서 x-3 = +-7

x=-4 또는 x=10

→ 수직선을 그려서 A [3]을 적고, 거리가 7이므로, 3 +7 =10, 3-7 = -4 이렇게 B의 좌표를 구해도 된다.

 

 

2) 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리

공식을 억지로 외우기보다는, 자연스럽게 몇 번 하다 보면 익숙해진다. 증명법은 피타고라스 정리를 사용한다.

좌표평면 위의 두 점 $ A(x_{1},y_{1}), B(x_{2},y_{2}) $ 사이의 거리 $ \overline{AB} $

$ \overline{AB}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}} $

 

[출제율 90%, 난이도 ☆☆☆★]

예제1) 두 점 $ O(0,0), A(4, -5)  $ 사이의 거리를 구하라.

 

정답)

해설) $ \overline{OA}=\sqrt{(4-0)^{2}+(-5-0)^{2}}=\sqrt{41} $

$ \sqrt{(0-4)^{2}+(0-(-5))^{2}}=\sqrt{41}  $ 어느 쪽에서 먼저 빼던 계산 결과에 상관없다.

 

예제2) 두 점 $ A(4,a), B(a, 4) $ 에 대하여 $ \overline{AB}=\sqrt{52} $일 때, a의 값을 구하여라. [단, a>0]

 

정답)

해설) 두 점 사이의 공식을 쓰도록 하자.

step1) $ \sqrt{(a-4)^{2}+(4-a)^{2}}=5\sqrt{2}=\sqrt{50} $

한 변이나 양변에 루트가 있을 때에는 제곱을 하는 것이 속편하다.

$ (a-4)^{2}+(4-a)^{2}=50$

step2) a에 대한 이차방정식이 나오므로, 해를 구하자.

$ 2a^{2}-16a+32=0, a^{2}-8a-9=0 $

[a +1][a -9]=0

해는 a=-1 or a=9

그런데 문제에서 a>0 이므로, a=9 이다.

 

 

예제3) 두 점 A [2, 1], B [-1 , 4]에서 같은 거리에 있는 x축 위에 있는 점을 P, y축 위의 점을 Q라 할 때, 선분 PQ의 길이를 구하여라.

 

정답)

해설) 점과 점 사이 공식 열심히 쓰면 된다.

x축 위의 점 → y좌표가 0이다.

y축 위의 점 → x좌표가 0이다. 를 꼭 생각해서 간단하게 풀도록 한다.

 

step1) 점 A, B와 같은 거리에 있는 x축 위의 P의 점을 구하라고 했으므로,

점P 의 좌표를 [a, 0]이라 정하고, $ \overline{AP}=\overline{BP} $에서 

$ \sqrt{(a-2)^{2}+(0-1)^{2}}=\sqrt{(a+1)^{2}+(0-4)^{2}} $ 후 양변을 제곱하면, 

$ a^{2}-4a+5=a^{2}+2a+17 $

-6a = 12 → a= -2

P [-2, 0]

 

step2) 점 Q의 좌표를 [0, b]라 하면 $ \overline{AQ}=\overline{BQ} $ 에서

$ \sqrt{(0-2)^{2}+(b-1)^{2}}=\sqrt{0+1)^{2}+(b-4)^{2}} $ 후 양변을 제곱하면,

$ b^{2}-2b+5=b^{2}-8b+17 $

6b =12 → b=2

따라서 Q [0, 2]

 

step3) P [-2, 0]과 Q [0, 2]로 선분 PQ의 길이를 구하라.

$ \sqrt{(0+2)^{2}+(2-0)^{2}}=2\sqrt{2} $

 

 

 

3. 삼각형 세 변의 길이와 모양

 

[출제율 90%, 난이도 ☆☆★★]

예제4) 세 점 A [4, 2], B [0, -2], C [-2, 0]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC는 어떤 삼각형인가?

 

정답)

해설) 시간이 없으면 좌표평면에 좌표를 예쁘게 찍으면 가능성 있는 도형을 찍을 수는 있으나, 웬만하면 세 변의 길이를 다 구해서 풀 수 있도록 하자.

step1)

$ \overline{AB}=\sqrt{(0-4)^{2}+(-2-2)^{2}}=\sqrt{32} $

$ \overline{BC}=\sqrt{(-2-0)^{2}+(0+2)^{2}}=\sqrt{8} $

$ \overline{CA}=\sqrt{(-2-4)^{2}+(0-2)^{2}}=\sqrt{40} $

step2) 삼각형을 파악할 때

$ \overline{CA}^{2}=\overline{AB}^{2}+\overline{BC}^{2}  $

따라서 삼각형 ABC는 각 B=90도인 직각삼각형이다.

 

참고)

$ \overline{CA}^{2}=\overline{AB}^{2}+\overline{BC}^{2}  $  → 직각삼각형

$ \overline{CA}^{2}>\overline{AB}^{2}+\overline{BC}^{2}  $  → 둔각삼각형 

$ \overline{CA}^{2}<\overline{AB}^{2}+\overline{BC}^{2}  $  → 예각삼각형

 

 

4. 거리의 최솟값 최댓값

[출제율 80%, 난이도 ☆★★★]

예제5) 두 점 A [-1, 0], B [4, 6]과 y축 위의 점 P에 대하여  $ \overline{AP}^{2}+\overline{BP}^{2} $의 최솟값과 그때의 점 P의 좌표를 구하시오.

 

 정답)

해설) y축 위의 점 P의 좌표를 [0, a] 라고 세팅을 하고 시작한다. 최솟값, 최댓값을 구하라고 하면, 거의 100% 이차함수 최대 최소 문제이다. [고등 하 배우기 전까지는]

 

step1) $ \overline{AP}^{2}+\overline{BP}^{2} $ 길이 구하기

$ (1^{2}+a^{2})+(-4)^{2}+(a-6)^{2} $

$ 2a^{2}-12a +53 $까지 구했다.

 

step2) 최솟값을 구하라고 했으므로, 이차함수의 표준형으로 표현한 후 분석한다.

$ 2(a^{2}-6a+9-9)+53  $

$ 2(a-3)^{2}+35  $

a=3일 때, 최솟값 35을 갖고, 그때의 점 P [0, 3]

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- 끝 -