[고1 고차방정식 3회] 시험에 무조건 나오는 문제 [+개념복습]

시험에 무조건 나오는 고차방정식 정복하기!

 

Contents

1. 삼차방정식의 해 [근과 계수의 관계]

2. 사차방정식의 해

3. 삼차방정식의 풀이 [w 개념]

4. 연립방정식의 풀이

5. 이차부등식 활용 [증감]

 

수식이 깨지는 학생들은 다운로드하시면 됩니다.

고1 수학(상) 고차방정식 적중문제 3회차.pdf

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※ 티스토리 블로그에서 소괄호가 깨지는 현상이 나타내서, 소괄호를 대괄호 [ ] 이렇게 대체했습니다.

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[출제율 80%, 난이도 ☆☆★★]

문제1) 삼차방정식 $ x^{3}+ax^{2}+bx-4=0 $의 한 근이 1-i 일 때, 실수 a, b에 대하여 a+b의 값은?

 

정답)

해설)

step1) 한 근이 1-i, 다른 한 근은 1+ i 라 하고, 실근 1개를 k라 하자.

근과 계수의 관계에 따라

$ k(1-i)(1+i)=4 $

2k = 4

실근 1개는 2이다.

따라서 세 근은 2, 1- i, 1+ i로 쉽게 찾을 수 있었다.

 

step2) 세 근을 근과 계수의 관계를 이용하여 나머지 a, b를 구한다.

2 +1 -i +1 +i = 4 = -a

a=-4

 

2 [1-i] + [1-i][1+i] +2 [1+i] = 6 = b

b=6

a+b=2

 

 

[출제율 70%, 난이도 ☆☆★★]

문제2) 계수가 실수인 사차방정식 $ x^{4}+x^{3}+ax^{2}-9x+b=0 $ 두 근이 2, -1일 때, 나머지 두 근 k, m에 대하여 $ k^{2}+m^{2} $  의 값을 구하시오.

 

정답) -6

해설)

step1) 사차방정식의 두 근이 2, -1이라는 것으로 a, b를 확실하게 구해본다.

x=2 대입 → 16 +8 +4a -18 +b =0 → 4a +b = -6

x=-1 대입 → 1 -1 +a +9 +b =0 → a +b = -9

두 식을 연립방정식 풀이하여 a, b를 구해보자.

3a = 3 → a=1, b=-10

step2) $ x^{4}+x^{3}+x^{2}-9x-10=0 $ 를 인수분해 하여 해를 구하면 되겠다.

고차방정식 풀이는 조립제법을 사용한다. 해가 2, -1이 기본적으로 세팅이 되어있으므로,

쉽게 구할 수 있다.

$ (x-2)(x+1)(x^{2}+2x+5)=0  $

step3) 나머지 두 근을 쉽게 구할 수 있을 줄 알았는데, $ x^{2}+2x+5 $이 인수분해가 되지 않아서 곱셈공식을 사용해야 할 것 같다.

k+m = -2, km=5

$ (k+m)^{2}-2km=k^{2}+m^{2} $

4-10 = -6

 

[출제율 80%, 난이도 ☆☆★★]

문제3) 삼차방정식 $ x^{3}=1 $ 의 한 허근을 w라 할 때, 이차방정식 $ x^{2}-ax+b=0 $ 의 한 근이 2w가 되도록 하는 실수 a, b에 대하여 a +b의 값을 구하시오.

 

정답) 2

해설)

step1) $ (x-1)(x^{2}+x+1)=0 $ 에서 실근은 1, 허근은 $ x^{2}+x+1=0 $에서 만들어진다.

$ w+\overline{w}=-1, w\overline{w}=1 $ 인 것만 확인하고 가자

step2) 문제에서 이차방정식 $ x^{2}-ax+b=0 $의 한근이 2w 라고 했다. 자연스럽게 이차방정식의 근은 2w와 $ 2\overline{w} $ 가 되는 것을 떠올렸으면 한다.

근과 계수의 관계에 의해

$ 2w+2\overline{w}=2(w+\overline{w})=a=-2 $

$ 2w\times 2\overline{w}=4w\overline{w}=b=4  $

따라서 a +b는 4이다.

 

 

 

[출제율 60%, 난이도 ☆☆★★]

문제4) 연립방정식 $$ \left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}=a \\ x+y=-3
\end{matrix}\right. $$ 을 만족하는 실수 x, y가 연립방정식 

$$ \left\{\begin{matrix}
ay+bx=1 \\xy=-4
\end{matrix}\right. $$ 

를 만족시킬 때, 실수 a, b에 대하여 a +b +x +y의 값을 구하시오. [단, a > b]

 

정답) 18

해설) 거창한 문제 같지만, 평소대로 연립방정식 잘 풀면 된다.

4개의 식을 보니, 2개를 골라서 해를 구할 수 있을 것 같다.

x +y =-3

xy = -4

암산해서 x=-4, y=+1 바로 보이기도 하지만, 정석대로 구해보도록 하자.

 

step1) 근과 계수의 관계를 사용해도 되지만, 조금 더 원시적인 방법은

y= -x-3을 xy=-4 에 대입한다.

x [-x -3] =-4

$ -x^{2}-3x+4=0 $

$ x^{2}+3x-4=0 $

$ (x-1)(x+4)=0 $ 으로 해가 x=1 or x=-4가 나왔고, y=-4 or y=1이 나왔다.

해의 순서쌍은 [1, -4] , [-4, 1]이다.

step2)

⓵ x와 y가 [1, -4] 일 때, $ x^{2}+y^{2}=a $에 대입하여 a=17

ay +bx =1에서

17 × [-4] + b× [+1] =1

-68 +b = 1

b= 69 [보기에서 a>b 에 성립하지 않았다.]

 

⓶ x와 y가 [-4, 1] 일 때, $ x^{2}+y^{2}=a $에 대입하여 a= 17

ay +bx =1에서

17 × 1 -4b =1

b= +4 [보기에서 a>b 조건에 성립했다.]

따라서 a +b +x +y = 17 +4 -4 +1 = 18

 

 

[출제율 70%, 난이도 ☆☆★★]

문제5) 어느 문화 센터에서 한 달 수강료를 x% 인상하면 회원 수는 0.5x% 감소한다고 한다. 이 문화 센터의 한 달 수입이 8% 이상 증가하도록 하는 x의 최솟값을 구하시오.

 

정답) 20

해설) step1) 수강료를 a, 회원 수를 b라 하자. 가볍게 문자로 써도 된다. 계산 과정에서 다 사라지기 때문에...

 

한 달 수입은 수강료 × 회원 수 = ab원을 벌었다고 하자.

 

한 달 수강료를 x% 인상했다. → $ a\times (1+\frac{x}{100}) $

회원 수는 0.5x% 감소했다. → $ b\times (1-\frac{0.5x}{100}) $

한 달 수입이 8% 증가 →  $ ab\times (1+\frac{8}{100}) $

 

step2) 주어진 식으로 부등식을 만들어보자.

$ a\times (1+\frac{x}{100}) \times  b\times (1-\frac{0.5x}{100})\geq  ab\times (1+\frac{8}{100}) $

양변에 ab를 없애면서, 10000을 곱해보자.

$ (100+x)(100-0.5x)\geq (10000+800) $ 이 나오고 열심히 풀면 된다.

$ 10000-50x+100x=0.5x^{2}\geq 10800 $

$ -0.5x^{2}+50x-800\geq 0 $ 양변에 -2를 곱한다.

$ x^{2}-100x+1600\leq 0 $

$ (x-20)(x-80)\leq 0 $

$ 20\leq x\leq 80 $

따라서 최솟값은 20

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- 끝 -