[고1 평면좌표 복습 2회] 선분의 내분점, 외분점 + 빈출문제 정리하기!

시험에 무조건 나오는 내분점 외분점 정복하기!

 

Contents

1. 선분의 내분점과 외분점

2. 삼각형의 무게중심

3. 평행사변형, 마름모 활용

4. 파푸스의 정리 (중선 정리)

 

 

수식이 깨지는 학생들은 다운로드하시면 됩니다.

고1 평면좌표(2) 모든개념 + 대표문제.pdf

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※ 티스토리 블로그에서 소괄호가 깨지는 현상이 나타내서, 소괄호를 대괄호 [ ] 이렇게 대체했습니다.

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1. 선분의 내분점과 외분점

 

1) 선분 AB 위의 점 P에 대하여 

$ \overline{AP}:\overline{PB}=m:n  $ [m>0, n>0]

 

 

일 때, 점 P는 선분 AB를 m: n으로 내분한다고 하고, 점 P를 내분점이라 한다.

 

2) 선분 AB의 연장선 위의 점 Q에 대하여

$ \overline{AQ}:\overline{BQ}=m:n  $

점 Q는 선분 AB를 m: n으로 외분한다고 한다.

 

 

※내분점, 외분점이 헷갈리는 학생들은 내 [실내], 외 [실외] 라고 생각을 하고 내분점은 선분 AB 안에 찍히게 되고, 외분점은 선분 AB 바깥쪽에 찍힌다고 생각을 하자. 내분점은 가벼운 편이나, 외분점은 어느 쪽에 찍히는지 헷갈리고, 공식을 무작정 외우는 학생들이 있는데, 항상 그림을 그려서 푸는 연습을 하자.

 

 

[출제율 90%, 난이도 ☆☆★★]

문제1) 좌표평면 위의 두 점 A [-1, -2], B [5, -3]에 대하여 다음을 구하여라.

⓵ 선분 AB를 3:2로 내분하는 점 P의 좌표

 

정답)

해설)

 

 

⓵ 우선 P의 x좌표를 먼저 구해보자.

$ (\frac{?}{3+2}, ??)  $

⓶ 그다음 크로스로 곱한다.

$ (\frac{3\times 5+2\times (-1)}{3+2}, ??)  $

⓷같은 방법으로 y좌표도 구해본다.

$ (\frac{3\times 5+2\times (-1)}{3+2}, \frac{3\times (-3)+2\times (-2)}{3+2} )  $

$ (\frac{13}{5}, \frac{-13}{5})  $

 

 

[출제율 90%, 난이도 ☆☆★★]

문제 2) 좌표평면 위의 두 점 A [-1, -2], B [5, -3] 에 대하여 다음을 구하여라.

⓶ 선분 AB를 2:1로 외분하는  점 Q의 좌표

 

정답)

해설) 실제로는 좌표평면에 A, B를 표시하지 않고, 편하게 AB를 세팅하면 되겠다.

그다음 선분 AB를 2:1로 외분한다고 했으므로, 선분 AB 안의 점이 아닌 외부에 점이 찍혀야겠다.

점A와는 거리가 2가 되어야 하고, B와는 1이 되는 P를 찾아야 하므로, B에 더 가깝게 P를 찍을 수 있도록 하자.

 

 

외분점을 구하는 공식을 외우지 않고, 직접 해보도록 한다.

우선 x좌표부터 해결한다.

⓵ $ (\frac{?}{2-1}, ??) $

보통 외분점의 분모는 뺄셈이 되는데, 1-2 보다는 2-1이 더 좋을 것 같다.

⓶ 분모에서 2-1를 했으므로, 2에 펜을 대고, 대각선끼리 곱할 준비를 한다.

2와 B의 좌표를 곱하고, 1과 A의 좌표를 곱해야 한다. [2와 A좌표를 곱하고, 1과 B좌표를 곱하면, 크로스 모양이 아니게 된다.]

$ (\frac{2\times 5-1\times (-1)}{2-1}, ??) $

⓷ 이번에는 y좌표를 구해보자. 똑같이 분모는 2-1 로 적는다.

$ (\frac{2\times 5-1\times (-1)}{2-1}, \frac{??}{2-1})$

2-1를 했으므로, 2에 펜을 대고 대각선으로 곱한다.\

$ (\frac{2\times 5-1\times (-1)}{2-1}, \frac{2\times (-3)-1\times (-2)}{2-1}) $

= [11, -4]

 

 

2. 삼각형의 무게중심

 

1) 삼각형의 무게중심

⓵ 삼각형의 세 중선의 교점을 무게중심이라 한다.

⓶ 삼각형의 무게중심은 꼭짓점으로부터 2:1 비율을 가진다.

 

2) 삼각형의 무게중심 좌표

A [a, b], B [c, d], C [e, f]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표는 $ G(\frac{a+c+e}{3},\frac{b+d+f}{3}) $이다. 

※ 무게중심을 증명하는 방법은 내분점을 사용할 수 있는데, 따로 시험에 나오는 부분은 아니니 생략하도록 한다.

 

 

[출제율 90%, 난이도 ☆☆☆★]

예제1) 세 점 A [a, b], B [-b, 4], C [-2, 5]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표가 [1, -2] 일 때, 상수 a, b의 합 a+b의 값은?

 

정답)

해설) 무게중심을 구하는 공식정도는 쉬운 편이니 외우도록 하자.

$ G(\frac{a-b-2}{3},\frac{b+4+5}{3}) $ 가 [1, -2]가 되어야 하므로, 

$ \frac{a-b-2}{3}=1, \frac{b+4+5}{3}=-2 $ 

a -b -2 =3에서 a -b =5

b +4 +5= -6에서 b=-15

a=-10, b=-15

a+b=-25

 

 

[출제율 80%, 난이도 ☆☆★★]

예제2) 삼각형 ABC의 세 변 AB, BC, CA를 3:2로 내분하는 점의 좌표가 각각 [1, 4], [3, 2], [5, 6] 일 때, 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표를 구하여라.

 

정답)

해설) 문제를 처음 읽어본 학생들은 머리가 띵하다. 하지만, 무게중심의 좌표는 세 변을 각각 m : n으로 똑같이 내분한 점을 연결한 삼각형의 무게중심과 같다. 궁금한 사람은 삼각형ABC 꼭짓점을 미지수로 두고 다 풀어내도 된다.

삼각형 ABC의 무게중심의 좌표는

$ G(\frac{1+3+5}{3},\frac{4+2+6}{3}) $ = [3, 4]

 

 

3. 평행사변형, 마름모 활용

 

중2-2 사각형의 성질 단원 중 평행사변형, 마름모의 뜻과 성질을 배웠다.

간단하게 확인해 보고 가자. 고등과정의 평면좌표에서 쓰는 개념만 확인한다.

평행사변형의 성질 → 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다. [두 대각선의 중점이 일치]

마름모의 성질 → 두 대각선은 서로 다른 것을 수직 이등분한다. [두 대각선의 중점이 일치]

 

 

[출제율 90%, 난이도 ☆☆☆★]

예제1) 세 점 A [-1, 3], B [0, 0], C [3, 2]를 꼭짓점으로 하는 평행사변형 ABCD의 꼭짓점 D의 좌표를 구하라.

 

정답)

해설) 좌표평면을 그려서 각각의 꼭짓점이 움직인 이동거리를 통해서 쉽게 풀어낼 수도 있다. 하지만 평행사변형의 성질을 이용하여 두 대각선의 중점이 일치하는 것으로 풀이를 해보자.

점 D의 좌표를 [x, y]라 하자.

두 대각선 AC와 BD의 중점이 일치하므로, $ \frac{-1+3}{2}=\frac{0+x}{2}, \frac{3+2}{2}=\frac{0+y}{2} $

x=2, y=5

따라서 점 D의 좌표는 [2, 5]이다.

 

 

[출제율 80%, 난이도 ☆☆★★]

문제5) 마름모 ABCD에서 세 꼭짓점의 좌표가 각각 A [1, 1], B [3, 5], D [a, b]이고, 대각선 AC의 중점의 좌표가 [4. 2] 일 때 상수 a, b의 합 a+b의 값을 구하여라.

 

정답)

해설) 평행사변형의 업그레이드된 도형이 마름모이므로, 성질은 같다. 똑같이 대각선의 중점이 일치한다는 성질을 사용하자.

마름모 ABCD에서 대각선 BD와 AC의 중점이 일치하므로, 

$ (\frac{3+a}{2}, \frac{5+b}{2})= (4, 2) $

a=5, b=-1 

a+b = 4

 

 

4. 파푸스의 정리 [중선 정리]

삼각형 ABC의 변 BC의 중점을 M이라 하고, 꼭짓점 A와 중점 M을 연결한 선을 중선이라 하는데, 중선 AM에 대하여

$ \overline{AB}^{2}+\overline{AC}^{2}=2(\overline{AM}^{2}+\overline{BM}^{2}) $ 가 성립한다. 

 

 

 

[출제율 60%, 난이도 ☆☆★★]

예제1) 오른쪽 그림과 같이 삼각형 ABC에서 점 M은 변 BC의 중점이과 점 G는 무게중심이다. 

$ \overline{AB}=8, \overline{AC}=2\sqrt{6}, \overline{BM}=4 $ 일 때, 

$ \overline{GM} $ 의 길이를 구하여라. 

 

 

정답)

해설) 문제를 보자마자 바로 공식을 적용시킬 수 있어야 한다. 삼각형이 있고, 이등분되어있다는 표시가 있으면, 바로 중선 정리를 쓰면 되겠다.

step1)

$ \overline{AB}^{2}+\overline{AC}^{2}=2(\overline{AM}^{2}+\overline{BM}^{2}) $ 

$ 8^{2}+(2\sqrt{6})^{2}=2(\overline{AM}^{2}+4^{2}) $ 

$ 44=\overline{AM}^{2}+16 $

$ \overline{AM}^{2}=28 $

$ \overline{AM}=2\sqrt{7} $

 

step2) 점 G는 삼각형 ABC의 무게중심이므로,

$ \overline{GM}=\frac{1}{3}\overline{AM} $

$ = \frac{1}{3}\times 2\sqrt{7} $

$ \frac{2\sqrt{7}}{3} $

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끝