[고1 기말대비 1회차] 평면좌표 빈출 5문제 [+개념 정복]

수식이 깨지는 학생들은 다운로드하시면 됩니다.

고1 수학(상) 평면좌표 1회차.pdf

0.07MB

 

 

※ 티스토리 블로그에서 소괄호가 깨지는 현상이 나타내서, 소괄호를 대괄호 [ ] 이렇게 대체했습니다.

---

[출제율 90%, 난이도 ☆☆☆★]

문제1) 두 점 A [-1, 2], B [4, 1] 에서 같은 거리에 있는 y축 위의 점의 좌표는?

 

정답) [0, -6]

해설) 점과 점 사이의 거리 구하는 공식이 필수이다.

step1) 점이 y축 위에 있으면, x좌표가 0이다. 그래서 y축 위의 점을 임의로 P [0, a]로 두고 시작한다.

step2) $ \overline{AP}=\overline{BP} $가 같아야 한다.

$ \sqrt{(0+1)^{2}+(a-2)^{2}}=\sqrt{(0-4)^{2}+(a-1)^{2}} $

루트가 있는 식은 양변을 제곱하면 쉽게 정리가 된다.

$ (0+1)^{2}+(a-2)^{2}=(0-4)^{2}+(a-1)^{2} $

계산을 하면 2차항이 사라지고, a에 대한 일차방정식이 나온다.

a=-6

 

따라서 [0, -6]

 

 

[출제율 90%, 난이도 ☆☆☆★]

문제2) 두 점 A [1, a], B [a, -1] 사이의 거리가 10일 때, 음수 a의 값을 구하면?

 

정답) -7

해설) 문제1) 와 비슷하다. 점과 점 사이의 거리 구하는 공식으로 마무리가 되는 유형이다.

 

step1) $ \overline{AB}=\sqrt{(1-a)^{2}+(a+1)^{2}}=10 $

루트가 있을 때에는, 양변에 제곱을 하는 것이 편하다. 제곱하여 간단히 계산하면,

$ 2a^{2}+2=100 $

$ a^{2}=49 $

a= +7, -7

따라서 음수 a의 값은 -7이다.

 

[출제율 90%, 난이도 ☆☆☆★]

문제3) 세 점 A [2, 1], B [4, 2], C [3, 5] 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC는 어떤 삼각형인가?

① 정삼각형

② $ \overline{AC}=\overline{BC} $인 이등변삼각형

⓷ 둔각삼각형

⓸ 각B가 90도인 직각이등변삼각형

⓹ 각C가 90도인 직각삼각형

 

정답) ⓷ 둔각삼각형

해설) 좌표평면에 그림을 예쁘게 그려도 되지만, 어차피 세변의 길이를 다 구해야 삼각형을 찾을 수 있다.

$ \overline{AB}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}  $

$ \overline{BC}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}  $

$ \overline{CA}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}  $

$ \overline{CA}^{2}>\overline{AB}^{2}+\overline{BC}^{2}$

따라서 삼각형 ABC 는 둔각삼각형이다.

 

★개념 [삼각형의 변의 길이를 a, b, c라 하자]

① $ a^{2}=b^{2}+c^{2} $ [직각삼각형]

② $ a^{2}>b^{2}+c^{2} $ [둔각삼각형]

⓷ $ a^{2}<b^{2}+c^{2} $ [예각삼각형]

 

 

[출제율 80%, 난이도 ☆☆★★]

문제4) x, y가 실수일 때, $ \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-4)^{2}+(y+1)^{2}} $ 의 최솟값은?

 

정답) $ \sqrt{17} $

해설) 처음 보면 많이 어려운 문제이다. 점과 점 사이의 거리 구하는 유형에서 자주 나오는 유형이긴 한데,

$ \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-4)^{2}+(y+1)^{2}} $ 은 원점 [0, 0]과 점 [x, y] 사이의 거리와, 점 [4, -1]과 점 [x, y]사이의 거리의 합이다.

step1) 일단 위의 말이 이해가 되었으면, 그래프에 좌표를 찍어보자.

임의의 점 [x, y]가 [4, -1]과 [0, 0]과 거리의 합이 최소가 되려면, 결론적으로 [4, -1]과 [0, 0] 두 점을 이은 선분 위에 [x, y]가 있어야 한다. 따라서 최솟값은 그냥 [4, -1]과 [0, 0] 거리를 구하는 공식과 같다.

step2) $ \overline{AB}=\sqrt{4^{2}+1^{2}}=\sqrt{17} $

 

문제4) 어려웠을 것이라 생각이 든다. 다시 한번 더 연습을 해보자.

 

[출제율 80%, 난이도 ☆☆★★]

 

문제5) 두 실수 x, y에 대하여  $ \sqrt{(x-1)^{2}+(y-3)^{2}}+\sqrt{(x-2)^{2}+(y+4)^{2}} $의 최솟값은?

 

정답)

해설) 세 점 P, A, B를 P [x, y], A [1, 3], B [2, -4]라고 하자.

$ \overline{PA}=\sqrt{(x-1)^{2}+(y-3)^{2}} $

$ \overline{PB}=\sqrt{(x-2)^{2}+(y+4)^{2}} $

$ \sqrt{(x-2)^{2}+(y+4)^{2}}+\sqrt{(x-1)^{2}+(y-3)^{2}}=\overline{PB}+ \overline{PB}\geq \overline{AB} $

 

따라서 $ \overline{AB}=\sqrt{(1+49}=\sqrt{50} $이다.

---

- 끝 -