[고1 도형의 방정식 2회] 시험에 무조건 나오는 문제 [+개념복습]

시험에 무조건 나오는 도형의 방정식 정복하기!

 

Contents

1. 점과 직선 사이의 거리

2. 세 점을 지나는 원의 방정식

3. 도형의 평행이동

4. 원과 직선이 다른 두 점에서 만나는 유형

 

수식이 깨지는 학생들은 다운로드하시면 됩니다.

고1 수학(상) 도형의 방정식 2회차.pdf

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※ 티스토리 블로그에서 소괄호가 깨지는 현상이 나타내서, 소괄호를 대괄호 [ ] 이렇게 대체했습니다.

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[출제율 90%, 난이도 ☆☆☆★]

문제1) 점 [-4, 1]과 직선 3x - 4y +6=0 사이의 거리는?

 

정답) 2

해설) 점과 직선사이의 공식을 적용한다.

★공식

$ (x_{1}, y_{1}) $ 과 ax +by +c =0의 거리 공식은

$ \frac{\left|ax1+by1+c \right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} $ 이며, 잘 적용시켜 보자.

풀이) $ \frac{\left|-12-4+6 \right|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}} $ =2

 

 

[출제율 70%, 난이도 ☆☆★★]

문제2) 세 점 [-1, 2], [2, 3], [7, -2] 를 지나는 원의 방정식은? [표준형으로 표현하시오]

 

정답) $ (x-2)^{2}+(y+2)^{2}=25 $

해설) 크게 어려운 문제는 아니지만, 원의 방정식의 일반형을 알고 있어야 하는 문제이다. 원의 중심의 조건이 없이 단순히 세 점을 지난다고 하면, 일반형에 대입하는 방법이 제일 쉽다. 미지수가 3개의 연립방정식을 풀어야 하므로 조금 복잡하다.

step1) $ x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0 $ 에 세 점을 차근차근 대입한다.

1+4-A+2B+C=0 → A -2B -C =5

4 +9 +2A +3B +C=0 → 2A +3B +C= -13

49 +4 +7A -2B +C=0 → 7A -2B +C = -53

 

step2) 각각 연립방정식을 하면, A=-4, B=4, C=-17 이 나온다.

따라서 $ x^{2}+y^{2}-4x+4y-17=0 $ [원의 방정식 일반형]

 

step3) 표준형으로 표현하려면 완전제곱형식으로 바뀌는 것을 연습해야 한다.

$ (x-2)^{2}-4+(y+2)^{2}-4-17=0 $

$ (x-2)^{2}+(y+2)^{2}=25 $

 

 

[출제율 80%, 난이도 ☆☆★★]

문제3) 점 [x, y]를 점[ x+2, y-1] 로 이동시키는 평행이동에 의하여 y=ax +b를 이동시키면 직선 $ y=\frac{1}{3}x-1 $과 x축 위의 한 점에서 수직으로 만난다. ab의 값은?

 

정답) -12

해설)

step1) 점의 평행이동이다. x축으로 +2, y축으로 -1만큼 평행이동 되었다.

y=ax +b를 평행이동 시킬 때에는, x대신 x-2, y대신 y+1를 대입한다.

y+1 = a [x-2] +b

y=ax -2a +b -1

 

step2) $ y=\frac{1}{3}x-1 $와 수직 한다. 기울기가 곱해서 -1이 되어야 한다.

y=ax -2a +b -1의 기울기는 a 이므로, a × 1/3 = -1

a = -3 → y=3x -6 +b -1 → y=3x +b -7

 

step3) $ y=\frac{1}{3}x-1 $ 과 x축 위의 한 점에서 만난다. → x절편이 같다.

$ y=\frac{1}{3}x-1$의 x절편은 [3, 0] 이고,

y=3x +b -7가 [3, 0]을 지나야 한다.

b=4

따라서 ab= -12

 

 

[출제율 80%, 난이도 ☆☆★★]

문제4) 원 $ (x-1)^{2}+y^{2}=1 $과 직선 y=2x -k가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 정수 k의 값들의 합은?

 

정답) 10

해설) 원과 직선이 두 점, 한 점, 만나지 않는 유형을 풀 때는 점과 직선사이 공식을 쓰면 편하다.

step1) y= 2x -k는 2x -y -k=0 이고, 원의 중심은 [1, 0] 이다.

원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면, 원의 중심과 직선 사이의 거리가 반지름 보다 작아야 한다.

[1, 0] 과 2x -y -k=0 사이의 거리는

$ \frac{\left|2-k \right|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{\left|2-k \right|}{\sqrt{5}} $이다. 

 

step2) 반지름 길이와 비교를 한다.

$ \frac{\left|2-k \right|}{\sqrt{5}} $ <1 →  $ \left|2-k \right| $ < $ \sqrt{5} $

$ -\sqrt{5}<2-k<\sqrt{5} $

$ -\sqrt{5}-2<-k<-2+\sqrt{5} $

$ 2+\sqrt{5}>k>2-\sqrt{5} $

4.xxx > k > -0.xxx

따라서 k= 0, 1, 2, 3, 4 까지 이며, 합은 10이다.

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- 끝 -