[고1 기말대비 2회] 부등식 적중 2문제 (+개념정복)

수식이 깨지는 학생들은 다운로드하시면 됩니다.

※ 티스토리 블로그에서 소괄호가 깨지는 현상이 나타내서, 소괄호를 대괄호 [ ] 이렇게 대체했습니다.

[출제율 80%, 난이도 ☆☆★★]

문제1) 이차함수 $ f(x)=x^{2}-2ax+9a $ 에 대하여 이차부등식 $ f(x)<0 $을 만족시키는 해가 없도록 하는 정수 a의 개수는?

정답) 10개

해설) 이차부등식이 항상 해를 가질 조건과 해를 갖지 않을 조건에 대해 확실하게 이해하도록 한다.

step1) 최고차항이 양수이므로, 1, 2, 3번 그룹이다. $ f(x) $의 값이 0보다 작은 부분이 있으면 안 되기 때문에, 판별식이 0보다 작거나 같아야 한다.

$ a^{2}-9a\leq 0 $

$ a(a-9)\leq 0 $

0≤a≤9

a의 범위는 0~9까지이고, 정수의 개수는 9-0+1 = 10개이다.

[출제율 90%, 난이도 ☆☆☆★]

문제2) 이차부등식 $ x^{2}+ax+b<0 $ 의 해가 -1<x<5 가 되도록 하는 두 상수 a, b의 곱 ab의 값은?

정답) 20

해설) 지금까지는 부등식이 나왔을 때, 해를 구하는 유형을 공부했으나, 역순으로도 구할 수 있어야 한다.

step1) 해가 -1 < x < 5 이므로, $ (x+1)(x-5)<0 $ 이었을 것이다.

step2) 부등식을 전개해서 a와 b를 찾는다.

$ x^{2}-4x-5<0 $

a = -4, b= -5

따라서 ab = 20

★개념

① 해가 2 < x < 3 이 되도록 하는 최고차항이 1인 이차부등식은 $ (x-2)(x-3)<0 $

② 해가 -2≤x≤6 이 되도록 하는 최고차항이 2인 이차부등식은 $ 2(x+2)(x-6)\leq 0$

⓷ 해가 x >3, x<-4 이 되도록 하는 최고차항이 2인 이차부등식은 $ 2(x+4)(x-3)>0 $

[출제율 85%, 난이도 ☆☆★★]

문제3) 이차함수 $ f(x) $에 대하여 f [1]=8이고, 부등식 $ f(x)\leq 0 $ 해가 $ -3\leq x\leq 0 $일 때, f[4] 의 값을 구하시오.

정답) 56

해설) 위에 문제2 유형과 비슷하다.

step1) $ f(x)\leq 0 $ 의 해가 $ -3\leq x\leq 0 $ 라는 문장을 보자마자,

$ x(x+3)\leq 0 $까지 표현을 해야 한다.

문제를 읽다 보니 최고차항의 계수에 대한 언급이 없다. 이때는 최고차항을 1로 둘 수 없으니 편한 문자인 a로 두면 되겠다.

$ ax(x+3)\leq 0$

step2) $ f(x)=ax^{2}+3ax $에서 f [1]=8 조건으로 a를 구해보자.

8 = a +3a

a=2

$ f(x)=2x^{2}+6x $

step3) f [4]를 구해야 한다. 대입하자!

f[4] = 32 +54 = 56

- 끝 -

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