[고1 고차방정식 4회] 시험에 무조건 나오는 문제 [+개념복습]

시험에 무조건 나오는 고차방정식 정복하기!

 

Contents

1.  삼차방정식의 해 [근과 계수의 관계, 곱셈 공식]

2. 연립방정식 풀이 

3. 이차부등식 활용 [둔각 삼각형 성질]

4. 삼차방정식의 해 [곱셈 공식]

5. 삼차방정식 허근

 

수식이 깨지는 학생들은 다운로드하시면 됩니다.

고1 수학(상) 고차방정식 적중문제 4회차.pdf

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※ 티스토리 블로그에서 소괄호가 깨지는 현상이 나타내서, 소괄호를 대괄호 [ ] 이렇게 대체했습니다.

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[출제율 80%, 난이도 ☆☆★★]

문제1) 삼차방정식 $ x^{3}+ax^{2}+bx-3=0$ 의 한 근이 -1이고, 나머지 두 근의 제곱의 합이 6일 때, 실수 a, b에 대하여 $ a^{2}+b^{2} $ 의 값을 구하여라.

 

정답) 10

해설) 삼차방정식의 근은 3개이며, 한 근이 -1 이라 했으므로, 나머지 두 근을 m, n이라고 해보자.

step1) 두 근의 제곱의 합이 6 → $ m^{2}+n^{2}=6 $

 

근과 계수의 관계를 사용하여,

① -1 +m +n = -a → m+n = -a +1

② -m -n +mn = b

⓷ -1 × m × n = 3 → mn = -3

 

step2) ①, ⓷ 식과 $ m^{2}+n^{2}=6 $ 를 곱셈공식을 이용하여 a의 값을 구한 후 b를 구하자.

$ (m+n)^{2}-2mn=m^{2}+n^{2}  $

$ (-a+1)^{2}+6=6 $

-a +1 =0

a=1

 

m+n = -a +1 = 0

mn = -3 이므로,

-m -n +mn = b = -3

따라서 $ a^{2}+b^{2}=10 $

 

 

[출제율 80%, 난이도 ☆☆★★]

문제2) 연립방정식 $$ \left\{\begin{matrix}
x^{2}-4xy+3y^{2}=0 \\ x^{2}+3xy+2y^{2}=5
\end{matrix}\right. $$ 

를 만족시키는 x, y에 대하여 xy의 최댓값을 구하시오.

 

정답) 5/6

해설) 전형적인 연립방정식 문제이다. 문제를 보고 2개의 식 중에서 인수분해가 된다면, 인수분해로 풀어내는 것이 맞다.

step1) $ x^{2}-4xy+3y^{2}=0 $

$ (x-3y)(x-y)=0 $

x=3y 또는 x=y라는 식이 나왔다. 이 2개의 식으로 확실한 해를 다 구해보자.

 

step2)

⓵ x=3y일 때, $ x^{2}+3xy+2y^{2}=5 $

$ 9y^{2}+9y^{2}+2y^{2}=5 $

$ 20y^{2}=5 \to  y^{2}=\frac{1}{4} \to  y=\pm \frac{1}{2}\to  x=\pm \frac{3}{2}, $

따라서 $ (\frac{3}{2}, \frac{1}{2}), (-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}) $

 

⓶ x=y 일 때, $  x^{2}+3xy+2y^{2}=5 $

$ y^{2}+3y^{2}+2y^{2}=5 $

$ 6y^{2}=5 \to  y^{2}=\frac{5}{6}\to y=\pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\to y=\pm \frac{\sqrt{30}}{6} $

$ (\frac{\sqrt{30}}{6}, \frac{\sqrt{30}}{6}),
(-\frac{\sqrt{30}}{6}, -\frac{\sqrt{30}}{6})  $

 

step3) x, y에 대한 순서쌍을 다 구해보았으니, xy의 최댓값을 구해보자.

4개의 순서쌍으로 xy를 다 구해보자.

따라서 xy 최댓값은 5/6 

 

 

문제3) 실수 x, x+1, x+2가 둔각삼각형의 세 변의 길이가 되도록 x의 값을 범위를 정하시오.

 

정답) 1 < x < 3

해설)  ★개념 [다운로드 파일에서 확인]

 

step1) 가장 긴 변이 x+2이다.

$ (x+2)^{2}>(x+1)^{2}+x^{2} $

$  x^{2}+4x+4>x^{2}+2x+1+x^{2} $

$  0>x^{2}-2x-3 $

$ 0>(x-3)(x+1) $

-1 < x < 3 

 

step2) 조금 더 고려해야 할 조건들이 있다.

⓵ 각각의 변이 0보다 크다.

x>0

x+1 >0 → x>-1

x+2 >0 → x>-2

따라서 x>0 이상 이어야 한다.

 

⓶ 짧은 두변의 길이의 합이 가장 긴 변보다 길어야 한다.

x + x+1 > x+2

2x +1 > x+2

x >　1

 

step3) x>0, x>1, -1<x<3을 하면 1<x<3이 최종 답이다.

 

 

[출제율 70%, 난이도 ☆☆★★]

문제4) 삼차방정식 $ x^{3}+x^{2}+ax=0 $ 이 아닌 두 근 m. n에 대하여 m-n=5 일 때, 실수 a의 값은?

 

 

정답) -6

해설) 인수분해와 근과 계수의 관계를 생각하자.

step1) $ x(x^{2}+x+a)=0 $ → 바로 x=0 이라는 실근이 하나 나왔다.

$ x^{2}+x+a =0 $ 에서 두 근이 m, n이라는 말이다.

 

step2) 근과 계수의 관계에서 m+n=-1, mn=a라는 조건으로 m-n=5을 이용해 보자.

★곱셈공식

$  (m+n)^{2}-4mn=(m-n)^{2} $

1 -4a = 25

a = -6

 

 

[출제율 60%, 난이도 ☆☆★★]

문제5) 삼차방정식 $ x^{3}=1 $ 의 한 허근을 w라 할 때, $ \frac{2}{w^{3}+3w^{2}+w} $ 를 간단히 하면?

 

정답) w

해설)

step1) $ (x-1)(x^{2}+x+1)=0 $ 에서 허근은 $ x^{2}+x+1 $ 에서 나오게 된다.

$ w^{3}=1, w^{2}+w+1=0 $ 이라는 기본 조건으로, 식을 변형해 보자.

 

step2) $ \frac{2}{1+3(-w-1)+w} =\frac{2}{-2w-2}=\frac{2}{-2(w+1)}=\frac{1}{w^{2}} $ 까지 구했다.

 

보기에 답이 있으면 체크하면 되지만, 보기에 답이 없다면, 더 깊숙하게 파고들어야 한다. 

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- 끝 -