[고1 기말 1회] 고차방정식 시험 적중 2문제 [+개념정복]

수식이 깨지는 학생들은 다운로드하시면 됩니다.

고1 수학(상) 기말 적중문제 1회차.pdf

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※ 티스토리 블로그에서 소괄호가 깨지는 현상이 나타내서, 소괄호를 대괄호 [ ] 이렇게 대체했습니다.

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문제1) 삼차방정식 $ x^{3}+ax^{2}+bx-4=0 $ 의 한 근이 1-i 일 때, 실수 a, b에 대하여 a+b의 값은?

 

★개념 학습

문제를 풀기 전에 기본 개념이 필요하다.

[1] 삼차방정식은 무조건 실근이 1개 이상은 나온다.

[2] 한 근이 1-i 라면 켤례근에 따라 다른 한 근은 1+i 가 나와야 한다.

[3] 삼차방정식 $ ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0 $ 에서 세 근을 $ \alpha, \beta, \gamma  $ 라고 할 때,

$ \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a} $

$ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a} $

$ \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a} $

※방정식 문제가 나오고 근이나 해가 나왔을 때, 바로 대입하는 학생들이 있는데, 이 문제에 적용하면 답은 구할 수 있지만 시간이 많이 걸린다. 근과 계수의 관계를 사용해서 접근해보자.

 

정답) 2

해설)

step1) 한 근이 1-i, 다른 한 근은 1+i 라 하고, 실근 1개를 k 라고 하자.

근과 계수의 관계에 따라

$ k(1-i)(1+i)=4 $

2k=4

실근 1개는 2이다.

따라서 세 근은 2, 1-i, 1+i 로 쉽게 찾을 수 있었다.

 

step2) 세 근을 근과 계수의 관계를 이용하여 나머지 a, b를 구한다.

$ \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}, $ 에 따라,

2 +1-i + 1+i =4 = -a

a=-4

 

$ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a} $ 에 따라,

$ 2(1-i)+(1-i)(1+i)+2(1+i)=6=b $

b=6

따라서 a +b = 2

 

 

문제 2) $ x^{3} $의 계수가  3인 삼차다항식 P[x] 에 대하여 P[1]=1,. P[2]=2, P[3]=3 을 만족할 때, P[x]를 x-4로 나눈 나머지는?

 

★개념 학습

최고차항의 계수와 해가 나올 때, 식을 추론하는 유형이다. 빈출 유형이니 무조건 숙지하자.

유형1) $ x^{2} $ 의 계수가 5인 이차방정식의 해가 3 또는 5이다.

5[x -3][x-5]=0

유형2) $ x^{2} $ 의 계수가 2인 이차다항식 P[x]에 대하여  P[1]=0, P[2]=0 이다. 

해가 1 또는 2라는 말이다.

2[x -1][x -2]=0

유형 3) $ x^{3} $ 의 계수가 -1인 삼차다항식의 해가 a 또는 b 또는 c 이다.

-[x -a][x -b][x -c]=0

유형 4) $ x^{3} $ 의 계수가 5인 삼차다항식 Q[x]에 대하여, Q[1]=3, Q[5]=3, Q[-2]=3 이다.

방법1) Q[1]-3=0, Q[5]-3=0, Q[-2]-3=0이므로,

Q[x]-3= 5[x-1][x-5][x+2] 이렇게 식을 세울 수 있다.

 

이해가 잘 되지 않는 학생은

방법2) 일단  Q[1]=3, Q[5]=3, Q[-2]=3 을 보자마자, 

Q[x]=5[x-1][x-5][x+2] 라고 적고, 1, 5, -2를 넣었을 때, 3이 나오려면 뒤에 +3이 되어야 하겠다.

Q[x]=5[x-1][x-5][x+2] +3

 

 다시 문제로 가자!

문제2) $ x^{3} $의 계수가  3인 삼차다항식 P[x] 에 대하여 P[1]=1,. P[2]=2, P[3]=3 을 만족할 때, P[x]를 x-4로 나눈 나머지는?

 

정답) 22

해설)

step1) P[x]=3[x-1][x-2][x-3]+? 까지 생각해보았다.

1을 넣었을 때 1, 2를 넣으면 2, 3을 넣으면 3이 나오게 하려면 ? 는 무엇일까를 생각해보면

상수는 아니고 x가 되겠다.

 P[x]=3[x-1][x-2][x-3]+x

step2) P[x]를 x-4로 나눈 나머지는 나머지정리에 의해 P[4]와 같다. 

P[x]= 3[x-1][x-2][x-3]+x 에서 x=4를 대입하면,

P[4]=22

따라서 22

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-끝-