[중2 기본] 5-8. 일차방정식의 그래프와 연립방정식의 해 완벽 정복하기!

하이루~ 길고 길었던 일차함수 마지막 시간이다. 아마 첫 번째 수업부터 이번 8번째 수업까지 다 들은 학생이 있다면, 쌤은 기특하다고 응원을 해주고 싶구나. 힘내서 마무리를 잘해보자.

 

※ 수식이 깨지는 학생들은 다운로드

중2 기본. 5-8. 일차방정식의 그래프와 연립방정식의 해.pdf

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※ 티스토리 블로그에서 괄호 오류가 나서 소괄호를 대괄호로 썼습니다.

 

Contents

1. 일차방정식 그래프와 연립방정식의 관계

2. 두 그래프의 위치 관계와 연립방정식 해의 개수

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1. 일차방정식 그래프와 연립방정식의 관계

 

연립방정식

$$ \left\{\begin{matrix}
ax+by+c=0 \\a'x+b'y+c'=0
\end{matrix}\right. $$

의 해는 두 일차방정식의 그래프의 교점과 같다.

말이 너무 어렵기 때문에, 바로 예제를 확인하자.

 

예제 1)두 일차방정식 x -y =1, 2x +y =5의 그래프의 교점을 구하라.

 

방법1) 연립방정식으로 해결한다.

x -y =1

2x +y =5

y의 계수가 맞춰져 있으므로, 두 식을 더한다.

3x = 6

x= 2

두 개의 식 중 편한 식에 x=2를 대입하여 y의 값을 구한다.

2 -y =1

y=1

따라서 두 방정식의 교점은 [2, 1] 이다.

 

방법2) 우리는 일차함수를 배웠기 때문에, 좌표평면에 그려본다.

x -y =1의 그래프는 y = x-1로 표현

2x +y =5의 그래프는 y = -2x +5이다.

이 것을 그래프로 표현해 본다.

 

x절편과 y절편으로 꼭 그래프를 그려볼 수 있도록 한다.

 

생각해 보면 그래프를 직접 그려서 교점을 찾는 것보다는 바로 연립방정식 풀이로 들어가는 것이 더 수월할 것 같다. 그래서 우리는 앞으로 두 개 이상의 일차함수의 교점을 구하라는 식은, 굳이 그래프를 그리지 않고 연립방정식으로 풀이하면 된다.

 

예제 2) 다음 두 일차방정식의 그래프의 교점의 좌표를 구하시오.

[1]  x +y =1, x -y = -3

그래프를 직접 그리지 않고, 연립방정식으로 풀이한다. 그래프를 그리는 방법도 알고는 있어야 한다.

x +y =1

x -y =-3

두 식을 빼거나 더하거나 둘 다 할 수 있다. 더해보자.

2x = -2

x = -1

아무 식에 대입하면, y = 2가 나온다.

따라서 교점은 [-1 , 2]가 된다.

 

 

2. 두 그래프의 위치 관계와 연립방정식 해의 개수

 

연립방정식 

$$ \left\{\begin{matrix}
ax+by+c=0 \\a'x+b'y+c'=0
\end{matrix}\right. $$

의 개수는 두 일차방정식 ax +by +c=0, a'x +b'y +c=0의 그래프의 교점의 개수와 같다.

 

[1] 두 일차방정식이 $ \frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}\neq \frac{c}{c'} $ 일 때,

 

1) 그래프의 위치관계는 평행하다.

2) 두 그래프의 교점은 평행하기 때문에 없다.

3) 기울기는 같고, y절편은 다르다.

 

[2] 두 일차방정식이  $ \frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}= \frac{c}{c'} $ 일 때,

1) 그래프의 위치관계는 일치한다.

2) 두 그래프는 일치하기 때문에 교점이 무수히 많다고 한다.

3) 기울기도 같고, y절편도 같다.

 

[3] 두 일차방정식이 $ \frac{a}{a'}\neq \frac{b}{b'} $ 일 때,

1) 그래프의 위치관계는 기울기가 다르기 때문에, 한 점에서 만난다.

2) 한 점에서 만나면 교점은 한 개라고 한다.

3) 기울기가 다른 상태이다.

 

예제 3) 두 일차방정식 2x +y =1, 4x +2y = -2의 그래프 위치관계를 말해보자.

 

방법 1)위의 공식을 사용하여 

$ \frac{4}{2}=\frac{2}{1}\neq \frac{-2}{1} $ 가 되는 것을 확인했고, 기울기는 같으나 y절편이 달라서 해가 없다.

 

방법 2)연립방정식으로 해를 구해본다.

 

2x +y =1

4x +2y = -2

계수를 맞추자.

4x +2y =2

4x +2y = -2

두 식을 빼본다.

0x +0y = 4

x와 y에 어떤 수를 넣더라도 항상 0인데, 4를 절대 만들 수 없으니, 식을 만족하는 x, y의 값은 없다.

따라서 해가 없다.

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그동안 중2 공부하느라 고생 많았고, 열심히 공부해서 좋은 성적 받기를 바랄게.

 

- 끝 -