[중3 기본] 1-2. 제곱근의 성질 완벽 정복하기!

 하이루~ 전 시간에 1-1. 제곱근에 대해서 처음 공부했었는데 낯선 개념들이 많아서 꽤 많이 어려웠을 것이라 생각이 든다. 사실 오늘 배울 내용이 시험에 가장 많이 출제되는 유형인데, 난이도도 그만큼 많이 어렵거든. 한 번만 잘해놓고 쌤이 알려준 방법으로 따라오면 되는데, 학생들은 그게 잘 안되더라고... 쌤이 더 자세하게 알려주도록 할게.

 

수식이 깨지는 학생들은 다운로드하시면 됩니다.

1-2. 제곱근의 성질.pdf

0.04MB

 

 

※ 티스토리 블로그에서 소괄호가 깨지는 현상이 나타내서, 소괄호를 대괄호 [ ] 이렇게 대체했습니다.

 

Contents

1. 제곱근의 성질

2. 제곱수란?

3. 제곱근의 대소관계

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1. 제곱근의 성질

 

전 시간 복습을 조금 해보자.

 

문제1) 4의 제곱근은?

정답) +2, -2

 

문제 2) 16의 제곱근은?

정답) +4, -4

 

* 수학하는 사람들은 반복해서 적는 것을 별로 좋아하지 않고, 간단한 것을 좋아한단다.

그래서 +4, -4 이렇게 두 번 적지 않고, $ \pm 4 $ 이렇게 적는다.

 

문제 3) 25의 제곱근은?

정답) $ \pm 5 $

 

조금 더 어렵게 가보자.

문제 4)

[1] $ (\sqrt{3})^2 $ = 3

[2] $ (-\sqrt{5})^2 $ = 5

[3] $ -(\sqrt{(-0.3)}^2) $ = -0.3

 

여기서 이해가 되지 않는 학생들은 루트의 원리를 생각해 보자.

$ \sqrt{9}=\sqrt{3^2}=3 $

$ \sqrt{16}=\sqrt{4^2}=4 $

 

우리는 $ \sqrt{(  )^2} $ 이면 [ ]가 나오는 것을 확인했다.

※쉽게 설명하면, 루트와 제곱이 만나면 소멸이 된다고 생각하자.

자 그러면!

$ \sqrt{3^2} $ 은 제곱과 루트가 만났으니 슈욱 사라지면, 3만 남는다.

 

$ \sqrt{(-3)^2} $ 이 있다면, 루트와 제곱이 만나면 슈욱 사라진다. 그러면 -3이 나와야 하는데, 답은 3이 된다.

여기서 우리는 가장 중요한 규칙 하나를 알아야 한다.

 

$ \sqrt{a^2} $ 

a≥0 일 때, a가 나온다.

a≤0 일 때, -a가 된다.

 

$ \sqrt{(-3)^2} $ 은 루트와 제곱이 만나면 슈욱 사라지고, [-3]만 남는데, 이 값이 음수 이므로, - 하나를 달고 나와야 한다.

- [-3] 이렇게 표현할 수 있다. 그래서 +3이다.

 

조금만 더 연습해 보자.

문제 5)

[1] $ \sqrt{(-7)^2} $ = 7

설명) 루트와 제곱이 만났으니, 사라진다. [-7]만 남게 되는데, 이 괄호 안에 있는 값이 음수이기 때문에, - [-7] 이렇게 마이너스를 달고 나오게 된다.

 

[2] $ \sqrt{(3-\sqrt{5})^2} $ = $ 3-\sqrt{5} $

설명) 일단 루트와 제곱이 만났으니 사라지는 것은 당연하다. 그러면 [$ 3-\sqrt{5} $] 만 남게 되는데, 이것이 양수인지 음수인지 판단해야 한다. 3은 루트 9니깐, 양수이다.

그래서 앞에 마이너스를 달 필요 없이, [$ 3-\sqrt{5} $]  만 나오면 되겠다.

 

[3] 3a < 0 일 때, $ \sqrt{(3a)^2} = -3a $

설명) 루트와 제곱이 만났으니, 사라졌다. 그러면 [3a]만 남는데, 3a는 얼핏 보면 +처럼 보이지만, 앞에 조건에서 3a < 0이라고 되어있으므로 음수이다. 그러면 - [ 3a ] 이렇게 -를 달고 나오게 된다. -3a

 

 

2. 제곱수란?

 

1, 4, 9, 16 … 같이 자연수의 제곱인 수를 제곱수라고 한다.

아까 위에서 봤던 1번과 연관을 시켜보자.

$ \sqrt{4} = \sqrt{2^2} = 2 $ 

$ \sqrt{9} = \sqrt{3^2} = 3 $

$ \sqrt{16} = \sqrt{4^2} = 4 $

제곱수는 루트 안에서 항상 제곱으로 표현을 할 수 있기 때문에, 루트와 제곱이 슈욱 사라져서 자연수가 나오게 된다.

 

외워두면 편한 제곱수로는

121 [11의 제곱]

144 [12의 제곱]

169 [13의 제곱]

196 [14의 제곱]

225 [15의 제곱]

우리는 11부터 20정도까지는 제곱수를 외워 두면 앞으로 편할 날이 많다.

 

 

3. 제곱근의 대소관계

 

수학에서는 어떤 수가 더 크고 적은지가 중요하다. 그것을 우리는 대소 비교한다라고 하는데 눈으로 보고 바로 판단이 되는 문제들도 있으며, 약간의 계산을 통해서 대소관계를 판단해야 하는 문제들도 있다. 여러 유형을 배워보도록 하자.

 

유형 1)근호가 있는 수들의 대소 비교

$ \sqrt{7} ,  \sqrt{3^2}  $

당연히 $ \sqrt{7} ,  \sqrt{9}  $ 가 되므로, 오른쪽이 더 크다.

 

유형 2)근호가 있는 수와 없는 수들의 비교

$ \sqrt{5} ,  2 $

근호가 없는 수를 근호가 있는 수로 바꾸어 계산을 해야 한다.

2는 루트4라고 배웠다.

루트5와 루트4는 루트5가 더 크다.

 

나중에 더 어려운 문제들이 나오게 되니, 간단하게 알아보았다.

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- 끝 -