[중3 기본] 1-3. 무리수와 실수 완벽 정복하기!

하이루~ 전 시간까지 제곱근에 대해서 열심히 공부했는데, 이번 시간에는 수의 체계에 대해서 공부해 보자. 쌤이 하나는 꼭 말해줄 수 있는데, 시험에 무리수에 대한 개념은 무조건 1문제 나온단다. 그래서 확실하게 정리를 해두고 시험에 나오면 꼭 정답을 맞히는 게 중요한데, 사실 헷갈리게 말장난을 쳐놓은 문제들도 많아서, 꼼꼼하게 정리 할 필요가 있단다.

 

수식이 깨지는 학생들은 다운로드하시면 됩니다.

1-3. 무리수와 실수.pdf

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※ 티스토리 블로그에서 소괄호가 깨지는 현상이 나타내서, 소괄호를 대괄호 [ ] 이렇게 대체했습니다.

 

Contents

1. 무리수란?

2. 실수란?

3. 무리수를 수직선 위에 표현하기

4. 실수의 대소관계

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1. 무리수란?

 

무리수 : 유리수가 아닌 수이다.

유리수는 중1에 처음 나왔다.

유리수는 $ \frac{a}{b} $ [a≠0] 으로 표현할 수 있는 수인데, 쉽게 설명하면 어떤 수를 분수로 표현할 수 있다면 모두 다 유리수이다.

 

그러면 무리수는 유리수가 아닌 수인데, 어떤 수들이 분수로 표현 불가능할까?

[1] 원주율 Π 가 있다.

원주율은 3.141592 … 로 분수로 표현할 수 없는 무한소수라고 배웠다.

 

[2] 근호가 있는 수들이 있다.

$ \sqrt{2}=1.414 ···  $ 

$ \sqrt{3}=1.732 $

 

<소수의 분류>

 

 

 

[1] 소수는 유한소수와 무한소수로 나눌 수 있다.

[2] 무한소수는 순환소수와 순환소수가 아닌 무한소수로 나눌 수 있다.

[3] 여기서 무리수는 무한소수 중에서 순환소수가 아닌 무한소수를 말한다.

[4] 유리수이면서 동시에 무리수인 수는 없다.

 

2. 실수란?

 

실수 : 유리수와 무리수를 통틀어 실수라 한다.

현재 너희들이 알고 있는 모든 수가 실수라고 생각하면 된다.

이 세상에 있는 유리수와 무리수를 다 데리고 와서, 수직선에 찍기 시작하면 모든 점을 다 채울 수 있다.

 

 

3. 무리수를 수직선 위에 표현하기

 

시험에 많이 나오는 유형이다. 무리수를 수직선 위에 표현하는 방법을 꼭 알아야 한다.

[1] 직각삼각형의 빗변의 길이를 이용하여 무리수를 수직선 위에 나타낸다.

[2] 직각삼각형의 빗변의 길이를 구하기 위해서 피타고라스 정리를 알아야 한다.

 

※ 예전 교육과정에서는 피타고라스가 중3-2에서 배웠기 때문에, 정사각형 넓이를 이용하여 빗변의 길이를 구했으나, 현재는 피타고라스가 훨씬 편하다.

바로 문제로 확인하자.

 

예제1)

P의 좌표와 Q의 좌표를 구해보자.

 

 

[1] 모눈종이 한 칸을 잘 보자. 한 칸의 길이가 1이다.

 

[2] 우선 Q의 좌표를 구해보자

Q의 좌표를 찾으려면, 우선 컴퍼스가 필요하다.

컴퍼스의 침을 A에 찍는다.

컴퍼스를 AB만큼 벌린다.

그리고 A를 고정시키고, B를 Q쪽으로 내린다.

선분 AB 와 선분 AQ는 길이가 같기 때문에, 우리는 AB의 길이를 구하면 되겠다.

 

[3] 선분 AB를 빗변으로 갖는 직각삼각형을 찾는다.

밑변의 길이가 2에서 5까지 3이고, 높이가 1이다.

피타고라스의 정리 : $ a^{2}+b^{2}=c^{2} $ 떠올린다.

$ 3^{2}+1^{2}=10 $ 이다. 빗변 길이는 루트 10이다.

 

[4] 따라서 Q의 좌표는

컴퍼스의 침을 2에 찍고 $ +\sqrt{10} $ 만큼 커졌기 때문에,

Q [ $ 2+\sqrt{10} $ ]

 

[5] P의 좌표도 구해보자.

P의 좌표를 찾으려면 컴퍼스의 침을 2에 찍는다.

컴퍼스를 D만큼 벌린 후에 밑으로 쭈욱 내린다. 부채꼴이 만들어진다.

선분 PD 길이가 $ \sqrt{10}  $  이므로, 

P의 좌표는 침을 찍은 기준점인 2에서  $ \sqrt{10} $ 을 빼면 된다.

따라서 P[ $ 2-\sqrt{10} $ ]

 

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- 끝 -