[중3 기본] 1-1. 제곱근의 뜻과 표현 완벽 정복하기!

하이루~ 이번 시간은 중3-1 1단원 첫 번째 시간입니다. 중1~2에 비해서 난이도가 많이 올라갔단다. 쌤은 최대한 설명하는 형식으로 글을 쓰고, 이해가 되지 않는 부분들은 댓글을 달아주면 최대한 빨리 답장을 할 수 있도록 할게. 쉬운 단원은 아니지만, 열심히 하면 충분히 따라올 수 있다고 생각한다. 시작할게!

 

※ 수식이 깨지는 학생들은 다운로드하시면 됩니다.

1-1. 제곱근의 뜻과 표현.pdf

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※ 티스토리 블로그에서 소괄호가 깨지는 현상이 나타내서, 소괄호를 대괄호 [ ] 이렇게 대체했습니다.

 

Contents

1. 제곱근이란?

2. 제곱근의 표현

3. 근호를 사용하지 않고 나타내기

4. 제곱근 구하기 [문제]

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1. 제곱근이란?

 

어떤 수 x를 제곱하여 a가 될 때,

$ x^{2}=a $

이때, x를 a의 제곱근이라 한다.

 

처음부터 어려운 용어들이 나왔기 때문에, 간단한 예를 들어서 배워보자.

 

[1] 쌤이 수민이에게 넓이가 9인 정사각형의 땅을 주었다.

수민이는 땅을 선물로 받고, 정사각형의 한 변의 길이가 얼마인지 궁금했다.

정사각형의 넓이는 [한 변] × [한 변] = 9가 되어야 하므로,

한 변은 3 인 것을 확인했다.

 

이때 이것을 문자로 식을 표현한다면, $ x^{2}=9 $ 라고 할 수 있고,

x는 3이라고 쉽게 구할 수 있다.

이 때, 3을 9의 제곱근이라 한다.

 

[2] 그런데 사실은 9의 제곱근은 3 뿐 아니라, -3도 있다.

혹시 16의 제곱근은?

어떤 수를 두 번 곱해서 16이 나와야 하므로, +4, -4가 있겠다.

이때 16의 제곱근은 +4, -4 이렇게 2개가 있다.

 

결론) 양수의 제곱근은 항상 양수, 음수 2개가 있고, 절댓값은 서로 같다.

 

[3] 수민이는 0의 제곱근이 얼마인지 궁금했다.

어떤 수를 두 번 곱해서 0이 되는 수는 아무리 생각해도 0밖에 떠오르지 않았다.

결론) 0의 제곱근은 0이다.

 

[4] 제곱하여 음수가 되는 수는 없으므로, 음수의 제곱근은 없다고 한다.

 

 

2. 제곱근의 표현

 

조금 더 심화로 들어가 보자.

방금 16의 제곱근은 +4, -4라고 배웠고,

9의 제곱근은 +3, -3이라고 배웠다.

 

[1] 그러면 10의 제곱근은?

어떤 수를 두 번 곱해서 10이 되는 수를 찾아보자.

$ x^{2}=10 $ 아무리 생각해도 없는 것 같다.

 

이 때, 이 것을 표현하기 위해서 기호 $ \sqrt{} $  를 사용하는데, 이것을 근호라 하고, 제곱근 또는 루트라고 읽기로 했다.

10의 제곱근은 $ \sqrt{10},  -\sqrt{10}  $ 이라고 한다.

 

※ 수학에서는  $ \sqrt{10},  -\sqrt{10}  $  을 두 번쓰기 번거로우니, $ \pm\sqrt{10} $ 으로 쓰기도 한다.

 

이때 루트10을 양의 제곱근, -루트10을 음의 제곱근이라 한다.

 

예제1) 0.6의 양의 제곱근을 구하시오.

0.6의 제곱근 = $ \pm\sqrt{0.6} $

0.6의 양의 제곱근 = $ \sqrt{0.6} $

 

※ 실수로 많이 틀리는 유형은,

4의 제곱근은 +2, -2 가 맞다.

제곱근4 는 4의 양의 제곱근을 말해서 +2만 적어야 답이다. [헷갈리는 학생은 제곱근이 먼저 나오면 + 만 적기로 외우자]

 

3. 근호를 사용하지 않고 나타내기

 

제곱근을 나타낼 때, 근호 안의 수가 어떤 수의 제곱이면 근호를 사용하지 않고 나타낼 수 있다.

4의 제곱근은 $ \pm \sqrt{4} $ 라고 할 수 있고,

아까 4의 제곱근은 +2, -2라고 했다.

그래서 $ \pm \sqrt{4} = \pm 2 $

 

예제2) 다음을 근호를 사용하지 않고 나타내어라.

[1] $ \sqrt{16} $ = 4  [16의 양의 제곱근은 4이다.]

[2] $ -\sqrt{900} $ = -30 [900의 음의 제곱근은 30이다.]

[3] $ \sqrt{12} $ = ?  [12의 양의 제곱근은 루트12 이므로, 근호를 사용하지 않고, 간단히 표현 불가능하다.]

 

4. 제곱근 구하기 [문제]

 

예제3) +9의 양의 제곱근을 A, $ \sqrt{625} $ 의 음의 제곱근을 B라 할 때, A - B의 값을 구하라.

[1] 9의 양의 제곱근은 +3

[2 ]$ \sqrt{625} $ = 25가 되고, 25의 음의 제곱근은 -5 이다.

따라서 A-B = 3 - [-5] = 8

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- 끝 -