[중3 기본] 4-4. 이차방정식 활용[1] 완벽 정복하기!

하이루~ 전 시간에 제곱근의 성질을 이용하여 해를 구하는 방법을 했는데 여간 쉬운 방법이 아니다. 어떤 문제 같은 경우 분수가 나오게 되면 식이 복잡해지기도 하는데, 오늘 배우는 근의 공식을 배우게 되면 아마 이차방정식 풀이 시간이 10배 이상은 빨라지게 될 것이다.

 

수식이 깨지는 학생들은 다운로드 하시면 됩니다.

4-4. 이차방정식 활용[1].pdf

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※ 티스토리 블로그에서 소괄호가 깨지는 현상이 나타내서, 소괄호를 대괄호 [ ] 이렇게 대체했습니다.

 

 

Contents

1. 이차방정식의 근의 공식이란?

2. 근의 공식 유도하기

3. 근의 공식 문제에 적용하기

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1. 이차방정식의 근의 공식이란?

 

[1] 근의 공식 : 이차방정식 $ ax^{2}+bx+c=0 $ 의 식이 있다면,

해는$ x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $ 

 

예를 들어보자.

예제1) 이차방정식 $ x^{2}-4x+1=0 $ 을 풀어보자.

풀이1) 전 시간 제곱근의 성질을 이용하여 풀이를 했다. 하는 과정이 귀찮긴 하지만 학교 시험에 나오기 때문에 꼭 알아야 한다.

$ x^{2}-4x+4-4+1=0 $ 

$ (x-2)^{2}=3 $ 

$ x-2=\pm \sqrt{3} $ 

$ x=2\pm \sqrt{3} $ 

 

풀이2) 근의 공식을 적용하면 한 번에 해를 구할 수 있다.

이차방정식 $ ax^{2}+bx+c=0 $ 의 식이 있다면,

해는 $ x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $ 

$ x^{2}-4x+1=0 $ 에서 a=1, b=-4, c=1 인 것을 확인했으면 차례대로 넣으면 되겠다.

$ x=\frac{+4\pm \sqrt{16-4}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=2\pm \sqrt{3} $

 

제곱근의 성질을 사용하던, 근의 공식을 사용하던 답은 똑같다.

 

[2] 일차항의 계수가 짝수일 때의 근의 공식

이차방정식 $ ax^{2}+2b'x+c=0 $ 의 근은

$ x=\frac{-b'\pm \sqrt{b'^{2}-ac}}{a} $ 이다.

 

이 부분은 처음 보는 학생들은 참고만 하면 될 것 같다. 우선 2개다 외우면 헷갈리니 처음의 근의 공식만 확실하게 외울 수 있도록 하자.

 

 

2. 근의 공식 유도하기

 

수능에는 나오지 않는다. 하지만 학교 시험에 서술형으로 출제될 수 있는 1순위 문제이다.

이차방정식 근의 공식 유도 과정

 

[1] $ ax^{2}+bx+c=0 $ 

 

[2] 양변을 a로 나눈다.

$ x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 $ 

 

[3] 완전제곱식으로 표현해본다.

$ x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}+\frac{c}{a}=0 $ 

$ (x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} $ 

 

[4] 제곱근의 성질을 이용해서 x를 구해본다.

$ x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $ 

$ x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $ 

 

 

3. 근의 공식 문제에 적용하기

 

예제2) $ 4x^{2}+7x-3=0 $ 을 근의 공식을 이용하여 풀어보자.

$ x=\frac{-7\pm \sqrt{49+48}}{8} $ 

$ x=\frac{-7\pm \sqrt{97}}{8} $ 

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- 끝 -