[중3 기본] 4-3. 이차방정식 풀이 [2] 완벽 정복하기!

하이루~ 전 시간에 인수분해를 이용하여 이차방정식 풀이를 했는데, 많이 어렵지 않았겠으나, 이번 시간 그리고 다음 시간에 배울 이차방정식 풀이는 조금 귀찮을 수도 있다. 난이도도 꽤 어렵긴 한데, 그래도 이번 시간이 잘 되어있어야 다음 시간에 배울 근의 공식도 자연스럽게 익히게 될 것이다.

 

수식이 깨지는 학생들은 다운로드 하시면 됩니다.

4-3. 이차방정식 풀이[2].pdf

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※ 티스토리 블로그에서 소괄호가 깨지는 현상이 나타내서, 소괄호를 대괄호 [ ] 이렇게 대체했습니다.

 

 

Contents

1. 제곱근을 이용한 이차방정식 풀이

2. 완전제곱식을 이용하여 이차방정식 풀이

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1. 제곱근을 이용한 이차방정식 풀이

 

중3-1 1단원에서 제곱근을 공부했다.

약간의 복습을 해보면,

[1] $ x^{2}=4 $ 

어떤 수를 제곱해서 4가 되는 수는 4의 제곱근이라 하는데 +2, -2가 있다.

 

[2] $ x^{2}=7 $

7의 제곱근은  $ \pm \sqrt{7} $ 

 

[3]  $ (x-3)^{2}=8 $ 

step1) x-3을 제곱하여 8이 되는 수는 $ \pm \sqrt{8} $ 

step2) $ x-3=\pm \sqrt{8} $ 이므로 

$ x=3\pm \sqrt{8} $ 

 

[4] $ -2(x-4)^{2}=-10 $ 

step1) 양변을 -2로 나눈다.

$ (x-4)^{2}=5 $ 

step2) 보기 쉬운 식이 됐으니, 위의 문제와 똑같이 접근하면 되겠다.

$ x-4=\pm \sqrt{5} $ 

$ x=4\pm \sqrt{5} $ 

 

※ 이차방정식 $ (x+p)^{2}=q $ 에서

1) 서로 다른 두 근을 가질 조건은 q > 0

2) 중근을 가질 조건은 q = 0

3) 근을 갖지 않을 조건은 q < 0

 

참고로 p의 값은 해를 결정하는데 영향이 없다.

1) 우변의 q가 0보다 클 경우

$ (x-10000)^{2}=3 $ 

$ x-100000=\pm \sqrt{3} $ 

$ x=100000\pm \sqrt{3} $ 

해가 2개이다.

 

2) 우변의 q가 0일 경우

$ (x-5)^{2}=0 $ 

x=5 [중근]

 

3) 우변의 q가 0보다 작을 경우

$ (x-5)^{2}=-4 $ 

x-5를 제곱해서 -4가 되는 수가 없다.

이때 해는 없다고 한다.

 

 

2. 완전제곱식을 이용하여 이차방정식 풀이

 

이차방정식 $ ax^{2}+bx+c=0 $ 의 해를 구하는데 좌변이 인수분해가 되지 않는다면, 일단 할 수 있는 첫 번째 방법이다. 다음 시간에 근의 공식을 배울건데, 학교 시험은 [제곱근의 성질을 사용해서 풀이하여라] 라고 나올테니, 정확하게 할 수 있으면 좋겠다.

1) 모든 항을 좌변으로 다 이항하여 우변을 0으로 만든다.

2) $ x^{2} $ 의 계수로 양변을 나누어서 1로 만든다. [꼭 필요하진 않지만, 편한 작업이다.]

우변이 0인 상태이기 때문에, 우변은 신경 쓰지 않아도 된다.

3) $ (x+p)^{2}=q $ 의 꼴로 고쳐서 해를 구한다. 이때 완전제곱식의 형태를 알아야 한다.

 

예제1) 이차방정식 $ x^{2}+4x+1=0 $ 을 푸시오.

step1) 우변이 0으로 정리가 되어있으므로, 바로 완전제곱식의 형태로 바꿔보자.

tip) $ x^{2}+4x $ 를 완전제곱식으로 만들어본다.

x의 계수에서 나누기 2를 한 다음 제곱한 수가 상수로 나와야 한다.

 

$ x^{2}+4x +4 -4 +1 =0 $

+4를 해주면서 자연스럽게 -4를 해주어야 원래의 식이 된다.

 

step2) $ (x+2)^{2}=3 $ 

$ x+2=\pm \sqrt{3} $ 

$ x=-2\pm \sqrt{3} $ 

 

예제2) 이차방정식 $ 2x^{2}-8x=-4 $ 을 푸시오.

step1) 우변의 항을 모두 좌변으로 이항하여 0으로 만든다.

$ 2x^{2}-8x+4=0 $ 

 

step2) 최고차항의 계수를 양변에 나눈다.

$ x^{2}-4x+2=0 $ 

$ x^{2}-4x+4-4+2=0 $ 

 

step3) 완전제곱 형식으로 나타낸다.

$ (x-2)^{2}=2 $ 

$ x-2=\pm \sqrt{2} $ 

$ x=2\pm \sqrt{2}$ 

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- 끝 -