[중3 기본] 3-2. 인수분해 응용 완벽 정복하기!

하이루~ 전 시간에 인수분해에 대해서 열심히 배웠는데, 2단원 곱셈공식 / 3단원 인수분해 공부하면서 많이 어려운 내용은 맞다. 하지만 충분히 반복하면 극복할 수 있는 단원이기 때문에 포기하는 학생이 없었으면 한다.

 

수식이 깨지는 학생들은 다운로드하시면 됩니다.

3-2. 인수분해 응용.pdf

0.04MB

 

※ 티스토리 블로그에서 소괄호가 깨지는 현상이 나타내서, 소괄호를 대괄호 [ ] 이렇게 대체했습니다.

 

Contents

1. 공통부분이 있는 식 인수분해

2. 항이 4개인 식의 인수분해

3. 항이 5개 이상인 인수분해

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1. 공통부분이 있는 식 인수분해

 

공통부분을 한 문자로 놓은 후 인수분해 공식을 이용한다.

공통부분을 한 문자로 놓는다 = 치환이라 한다.

보통은 치환 할 때 본인이 좋아하는 문자를 쓰면 되는데, 쌤은 A, X, k 이런 문자를 쓴다.

 

예제1) $  6(x+y)^{2}+7(x+y)-3 $ 을 인수분해 하시오.

 

[풀이1] 모든 식을 다 전개해서, 동류항끼리 간단히 정리한 다음 인수분해를 하면 된다.

[풀이2] 치환을 이용한다.

 

step1) 식을 보니 x+y 가 공통된 부분이다. x+y = A로 치환해보자.

$  6A^{2}+7A-3 $ 

 

step2) 99% 이상의 문제는 치환을 하면 인수분해 할 수 있도록 나온다.

[2A +3][3A -1]로 인수분해 하는 방법은 전 시간에 배웠다.

 

step3) 인수분해가 완료되었으면, 처음에 치환한 값을 다시 넣어주면 된다.

{2[x +y] +3}{3[x +y] -1}

[2x + 2y +3][3x + 3y -1]

 

 

2. 항이 4개인 식의 인수분해

 

이 유형은 풀이법이 2개로 정해져 있긴 한데, 많은 학생들이 어려워하는 유형이다.

 

예제2) ab +a -b -1을 인수분해 하라.

 

step1) 우선 항이 몇 개인지 체크해 본다. 항이 4개이다. 웬만하면 항이 4개 있으면, 항을 2개 2개로 묶어봐야 한다.

쌤은 처음에 ab +a -b -1 중에서 [1, 4]항을 묶고, [2, 3]항을 같이 묶어보겠다.

ab -1 + a- b

[ab -1] + [a -b]

인수분해가 되지 않는다. 그래서 우리는 인수분해를 할 때, 꼭 공통인수가 생기도록 인수분해를 해야 한다.

 

ab +a -b -1

있는 그대로 2개 2개씩 항을 묶어보자.

a[b +1] -[b +1]

공통 인수 [b +1]이 만들어졌다.

 

step2) a[b +1] -[b +1]가 인수분해 되어 있는 식이 아니므로, 인수분해 한다.

공통인수가 [b +1]

[b +1][a -1]

 

예제3) $ x^{2}+y^{2}-2xy-1 $ 을 인수분해하라.

항의 개수가 4개이다. 일단 2개씩 묶을 준비를 해보자.

아무리 묶어도 공통인수가 나오지 않는 것을 확인하면 된다.

항을 2개씩 묶었을 때, 도저히 인수분해가 되지 않는다면, 항을 3개 1개로 묶어야 한다.

이때 팁은 3개를 하나로 묶는 항이 완전제곱식이 되어야 한다.

 

step1)

$ x^{2}-2xy+y^{2}-1 $ 

$ (x-y)^{2}-1^{2} $ 이 보여야 한다.

 

step2) 합차공식 $ (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2} $ 떠올리면서,

[x -y +1][x -y -1] 이 된다.

 

3. 항이 5개 이상인 인수분해

 

인수분해의 끝판대장이다. 나중에 고등과정에서도 계속 나오게 되지만, 중3 학생들도 배우는데 사실 난이도가 많이 높다. 고1 학생들도 대부분 힘들어하는 것이 현실!

[풀이법] 차수가 낮은 문자에 대해서 내림차순을 하는데, 내림차순은 고1 과정에서 본격적으로 배운다. 고1 링크를 해놓을 테니 오름차순, 내림차순에 대해서 배워보자.

2023.02.08 - [수학의 모든 것/고등수학] - [고1 수학(상) 기본] 1-1. 다항식의 연산 완벽 마스터하기

 

예제4) $ x^{2}-y^{2}+6x+2y+8 $ 을 인수분해하라.

[풀이법] 운이 좋게 항을 3개, 2개로 묶어서 인수분해가 될 수도 있다. 하지만 안 되는 경우가 대부분이기 때문에, 풀이과정을 순서대로 따라가 본다.

step1) x에 대해서 내림차순 한다. [x에 대한 2차항 > 1차항 > 상수항으로 식을 나열하면 된다.]

$ x^{2}+6x-y^{2}+2y+8 $ 

 

step2) 보통은 x에 대한 내림차순을 하면 나머지 상수 부분 $ -y^{2}+2y+8 $ 이 인수분해가 되게 되어있다.

$ x^{2}+6x-(y-4)(y+2) $ 

 

step3) 복잡해 보이긴 하지만,

1x -[y -4]

1x +[y +2]

 

= {x -[y -4]} {x + [y +2]}

= [x -y +4] [x +y +2]

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- 끝 -