[중3 기본] 4-1. 이차방정식과 그 해 완벽 정복하기!

하이루~ 전 시간까지 인수분해 잘 마무리 하고, 이차방정식 첫 시간이다. 이제 어려운 부분은 다 끝났으니 편하게 공부하면 될 것 같아. 혹시 방정식이 뭔지 잘 기억나지 않는 학생은 중1 3단원 문자와 식 / 4단원 일차방정식 복습과 중2 연립방정식 초반부 부분을 공부해도 도움이 될 것 같아. 최대한 자세하게 설명을 할 수 있도록 할게.

 

수식이 깨지는 학생들은 다운로드 하시면 됩니다.

4-1. 이차방정식과 그 해.pdf

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※ 티스토리 블로그에서 소괄호가 깨지는 현상이 나타내서, 소괄호를 대괄호 [ ] 이렇게 대체했습니다.

 

 

Contents

1. 이차방정식이란?

2. 방정식의 해?

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1. 이차방정식이란?

 

이차방정식을 배우기 전에, 항상 방정식이 무엇인가? 라는 질문이 따라온다.

방정식을 배우기 전에 등식이라는 개념도 알고 있어야 한다.

 

등식: 등호가 있으면 된다.

방정식 : 미지수의 값에 따라 참이 되고 거짓이 되는 식이다.

항등식 : 미지수의 값에 관계없이 항상 참이 되는 식이다.

 

등식 / 방정식 / 항등식 이라는 용어를 보는 순간 머릿속에 관련된 식들이 떠올랐으면 좋겠다.

몇 가지 예를 들어서 확인해보자.

 

[1] 등식

등식인 것

3 +4 =7

2x -1 = 8

2 + 5 = 9

$  \frac{1}{x}+5=9 $ 

$ x^{2}-4x+3=0 $ 

 

등식이 아닌 것

2x -6

3 + 4 < 6

 

[2] 방정식 : 우선 등호가 있는 등식 중에서 미지수의 값에 따라 방정식이 된다.

방정식인 것

2x +1 = 8

$ \frac{1}{x}+6=9 $ 

$ 3x^{2}=8 $ 

 

방정식이 아닌 것

2x +1

-9x -1 < 10

2x+ 4 = 2[x +2]

 

※ 2x+ 4 = 2[x +2] 는 얼핏 보면 등호가 있어서 방정식처럼 보이지만, 전개를 해본다.

2x +4 = 2x +4

 

그리고는 모든 항을 좌변으로 이항해본다.

2x +4 -2x -4 =0

미지수가 사라지기 때문에 이런 식은 특수한 해로 항등식이라고 배운 적이 있다.

 

어느 정도 정리가 됐으니 이차방정식을 배워보자.

이차방정식 : 등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리했을 때,

[x에 대한 이차방정식] = 0 의 꼴로 나타내어져야 한다.

 

예를 들면

$ x^{2}-3=0, x^{2}-4x+3=0, x^{3}-2x^{2}-6x=x^{3} $ 

이런 식은 이차방정식이다.

 

※ $ x^{3}-2x^{2}-6x=x^{3} $ 는 얼핏 보면 삼차방정식으로 보이지만, x의 세제곱을 좌변으로 이항하면 계산하여 사라지기 때문에, 최고차가 2차가 되게 된다.

 

예를 들어,

$ 3x^{2}-5x=3x^{2},  x+7=0 $ 

이런 식은 이차방정식이 아니다.

 

일반적으로

$ ax^{2}+bx+c=0 $ [a, b, c는 상수이며 a≠0]

이런 꼴로 나타내게 되며, b와 c는 0이어도 되지만, a는 반드시 0이 아니어야 한다.

 

 

2. 방정식의 해?

 

이차방정식의 해[근] : x에 대한 이차방정식을 참이 되게 하는 x의 값

이차방정식을 푼다 : 이차방정식의 해를 모두 구하는 것이다.

 

예제1) x의 값이 -1, 0, 1, 2일 때, 다음 이차방정식을 푸시오.

$ x^{2}-2x=0 $ 

step1) 이차방정식의 해를 모두 구하면 된다. 현재 우리가 배운 방법이 없기 때문에, 보기에 있는 -1, 0, 1, 2를 차근차근 대입해서 식이 성립하는지 확인한다.

 

x=-1 대입 > $ (-1)^{2}+2\neq 0 $ 

x= 0 대입 > $ (0)^{2}-0= 0 $ 

x= 1 대입 > $ (1)^{2}-2\neq  0 $ 

x =2 대입 > $ (2)^{2}-4= 0 $ 

 

따라서 $ x^{2}-2x=0 $ 는 x=0 또는 x=2 라고 할 수 있다.

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- 끝 -