[중3 기본] 3-1. 인수분해 완벽 정복하기!

하이루~ 전까지 2단원 마무리를 하고 3단원 첫 번째 시간이다. 여러분이 가장 흔하게 들어봤던 단어인데 드디어 같이 공부를 하게 되었구나 열심히 배워보자!

 

수식이 깨지는 학생들은 다운로드하시면 됩니다.

 

3-1. 인수분해.pdf

0.04MB

 

 

※ 티스토리 블로그에서 소괄호가 깨지는 현상이 나타내서, 소괄호를 대괄호 [ ] 이렇게 대체했습니다.

 

Contents

1. 인수분해란 무엇인가?

2. 공통인 인수가 있을 때의 인수분해

3. 여러 가지 인수분해

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1. 인수분해란 무엇인가?

 

중1 때 혹시 소인수분해라고 배웠는데 기억하는 사람 있을까?

소인수분해란 자연수를 소인수의 곱으로 표현한 것

또다시 설명하면 시간이 길어지니, 쌤이 중1-1에 대한 링크를 올려둘게.

 

(중1-1 링크)

2023.01.11 - [수학의 모든 것/중등수학] - [중1 기본] 1-2. 소인수분해 완벽 마스터하기!

 

중1에서 소인수분해를 배웠다면, 중3에서는 인수분해를 배운다.

하는 과정은 비슷하며, 수 대신에 문자가 들어간다는 것을 알면 되겠다.

 

본격적으로 배워보자!

 

인수 : 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타낼 때, 각각의 식을 처음 다항식의 인수라 한다.

인수분해 : 하나의 다항식을 두 개 이상의 곱으로 나타내는 것을 그 다항식을 인수분해 한다고 한다.

세부적으로 알아보자.

$ x^{2}-2x-3 = (x-3)(x+1) $ 

아직은 인수분해 하는 방법을 배우지 않았고, 쌤이 직접 인수분해를 해보았다.

[1] $ x^{2}-2x-3 $ 은 각 항이 $ x^{2} $ , -2x , -3 3개이다. 일단 이 식은 인수분해가 되어 있지 않다. 인수분해는 각 항들의 곱으로 이루어져 있어야 한다.

[2] 이 식을 어떻게 해서 [x -3][x +1] 나타내었다고 하자. 이 식은 [x -3] × [x +1]으로, 곱셈이 생략이 된 식이다. 하나의 다항식을 두 개 이상의 곱으로 나타냈기 때문에, 인수분해 했다고 한다.

[3] 이 때, 각각의 식을 인수라고 하는데, 여기서는 [x -3], [x +1] 이 된다. 추가로 [x -3][x +1], 그리고 1까지 포함이 된다.

 

 

2. 공통인 인수가 있을 때의 인수분해

 

인수분해의 가장 기초이다.

다항식의 각 항에 공통인 인수가 있을 때는 공통인 인수를 찾아야 하는데, 이때 중1에서 배운 곱셈의 분배법칙을 사용한다. 그리고 인수분해 할 때는 공통인 인수가 남지 않도록 모두 묶어내는 것이 정확하다.

 

예제1) $ 4x^{2}-8x = $ 

[1] 아직 인수분해 되어있는 식은 아니다. 인수분해를 해보자.

[2] 항은 $ 4x^{2}, -8x $ 로 2개이고 공통된 인수는 4x가 될 것 같다.

$ 4x^{2}-8x = 4x(x-2) $ 

이렇게 빼낼 수가 있다.

※ 이 부분이 원활하게 안 되는 학생은 중1-1 3단원 문자와 식 분배법칙 파트 복습이 필요하다.

 

예제2) $ 3x^{3}y^{5}-6x^{2}y^{3}z^{4}+9x^{2}y^{2}z^{3} $ 

[1] 인수분해의 기본이다. 공통인 인수를 찾는다. 항이 3개 있으므로, 최대한 뽑아낼 수 있을 만큼 다 뽑아내면 된다.

$ 3x^{2}y^{2} $ 인 것 같다.

[2] $ 3x^{2}y^{2} (xy^{3}-2yz^{4}+3z^{3}) $ 으로 인수분해를 하였다.

 

3. 여러 가지 인수분해

1) $ a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b) $ 

[1] 전 시간에 배웠던 합차공식이다. 유형을 익히도록 하자.

[2] 보통은 다항식에서 항이 2개이면, 합차공식이 아닐까 의심해야 한다. 예제 1)처럼 공통인수를 빼내서 인수분해 하는 유형들도 있으니 100% 확신할 수는 없다.

 

예제3) $ 4x^{2}-9y^{2} $ 를 인수분해 하시오.

항이 2개이므로, 합차 공식을 의심해 본다.

[1] $ (2x)^{2}-(3y)^{2} $ 으로 표현을 한 후

[2] [2x +3y][2x -3y] 표현하면 되겠다.

 

2) $ a^{2}+2ab+b^{2}, a^{2}-2ab+b^{2} $ 인수분해 하기

전 시간에 배웠다. 완전제곱식의 형태인데,

$ a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2} $ 

$ a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2} $ 

가볍게 보고 지나가자. 다음 3) 유형을 공부하면 자연스럽게 유도가 된다.

 

3) $ x^{2}+(a+b)x+ab $ 인수분해 하기

앞으로 가장 많이 나오는 유형이다.

$ x^{2}+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b) $

이 식은 외우는 것이 아니라, 직접 몇 번 해봐야 한다.

※ 이 부분은 말로 하면 금방 이해가 되는데, 글로 표현하기에는 한계가 있습니다.

 

예제4) $ x^{2}-7x-8 $ 을 인수분해하라.

우선 공식을 따라 해 보자. 최대한 자세하게 설명을 해볼게.

 

이차항 계수	일차항 계수	상수항
1x		-8
1x		1

 

[1] $ x^{2}-7x-8 $ 의  $ x^{2} $ 항 밑에 적는다. 두 수를 곱해서 $ x^{2} $ 이 되게 하는 수는 x, x 밖에 없다.

1x

1x

 

[2] $ x^{2}-7x-8 $ 의 -8 상수항 밑에 적는다. 두 수를 곱해서 -8이 되는 수를 찾는다.

1x -8

1x +1

이 되겠다.

 

[3] 사실은 곱해서 -8이 되는 수가, 8과 1 말고도 2와 4가 있는데, 여기서 선택을 해야 한다.

1x -8

1x +1

여기서 양쪽으로 크로스 곱해서 더한 값이 $ x^{2}-7x-8 $ 의 -7이 나오게 만들어야 한다.

오류가 없다면 식을 적으면 된다.

 

[4] [x -8][x +1]

마지막 3) 유형은 꼭 혼자서 연습을 해보도록 한다.

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- 끝 -