[중3 기본] 2-2. 곱셈공식 완벽 정복하기!

하이루~ 중3 들어오면서 가장 어려운 단원이다. 이 단원은 배우는 학생도 그리고 쌤도 가르치면서 조금은 힘든 단원이긴 한데, 그래도 무작정 식을 외우는 학생이 있을 것이고, 그래도 하는 방법을 익혀서 공식을 유도하는 학생이 있을 텐데, 쌤은 후자가 더 좋다고 생각이 들거든. 유도를 차근차근해보도록 합시다.

 

수식이 깨지는 학생들은 다운로드하시면 됩니다.

 

2-2. 곱셈공식.pdf

0.05MB

 

 

※ 티스토리 블로그에서 소괄호가 깨지는 현상이 나타내서, 소괄호를 대괄호 [ ] 이렇게 대체했습니다.

 

 

Contents

1. 곱셈 공식 이용하여 수의 계산

2. 분모의 유리화

3. 곱셈 공식의 변형

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1. 곱셈 공식 이용하여 수의 계산

 

곱셈 공식이라고 하여 심각하게 어려운 내용은 아니다. 예를 들어

$ 103^{2} $ = 

이라는 문제가 나왔다. 혹시 이런 문제 나오면 심각하게 빨리 암산하는 사람들이 있지 않은가?

 

유튜브에 보면 신기한 방법으로 암산 하는 방법이 있지만, 보통 암산 잘하는 사람들은 어릴 때 주판을 가지고 노는 주산이 잘 되어 있을 확률이 높고, 또 선생님들 같은 경우는 이와 같은 방식으로 푼다.

 

$ 103^{2}= (100+3)^{2} $  이렇게 바꾼다.

굳이?　사실 103×103 해도 되는데, 곱셈 공식을 배웠으니 적용이라도 해보자. 아마 잘 배워두면 쓸모가 있을 것 같다.

전 시간에 

$ (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab $ 라고 배웠다.

$ (100 +3)^{2}  $ =  10000 +9 + 2 ×100×3 = 10000 + 9 +600 = 10609 이다.

 

102 × 98을 곱셈공식을 사용하여 풀어보자.

[1] 102와 98의 중간수를 찾는다. 100 인 것을 확인했으면,

[2] [100+2][100-2] 이렇게 만들어 본다.

전 시간에 배웠던 $ (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2} $ 합차 공식을 배워보았다.

 

$ 100^{2}-2^{2}= $ 10000 - 4 = 9996

 

 

2. 분모의 유리화

 

중3-1 단원에서 배웠다. 가볍게 배웠다.

답이 $ \frac{1}{\sqrt{3}} $ 이렇게 나왔다면, 수학하는 사람들은 분모가 무리수인 것을 싫어한다.

그래서 분모의 유리화 작업을 해주는데, 현재 분모가 무리수이기 때문에, 분자 분모에 같은 값을 곱해주면서 분모를 유리수로 만드는 작업이다.

 

$ \frac{1\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}} $ 분자 분모에 같은 루트3을 곱하면 $ \frac{\sqrt{3}}{3} $ 이 되는 것을 이미 배웠다.

조금 더 어려운 분모가 2개 이상의 항으로 되어있는 무리수를 배워보자.

 

예제1) $ \frac{1}{3-\sqrt{2}}=\frac{1\times (3+\sqrt{2})}{(3-\sqrt{2})\times (3+\sqrt{2})} $ 

우선 분모가 무리수인 상태이므로, 적절한 수를 분자 분모에 곱해서 분모를 유리수로 만들어본다.

 

합차 공식을 이용할 텐데,

$ (3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})=3-2 $ 로 분모가 1이 된다.

따라서 $ \frac{3+\sqrt{2}}{1} $ 

[분모에 1은 굳이 적지 않아도 된다.]

 

 

3. 곱셈 공식의 변형

 

난이도가 많이 높다.

우선 많이 나오는 식들을 쌤이 한번 나열해 볼 텐데, 눈으로만 보고 지나가면 된다.

$ (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} $ 

$ (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} $ 

$ (a+\frac{1}{a})^{2}=a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}} $ 

$ (a-\frac{1}{a})^{2}=a^{2}-2+\frac{1}{a^{2}} $ 

기본적으로 많이 나오는 식이다. 하지만 이리저리 변형이 되기 때문에, 공식을 암기하기보다는 유형을 많이 풀어보고 몸으로 익히는 게 최고다. 대부분의 학교 선생님들은 공식을 외우면 편하다고 하지만, 쌤은 비추천이다.

많이 나오는 문제를 살펴보자.

 

예제2) x+y =6, xy=-2 일 때, 

[1] $ x^{2}+y^{2}= $ 

[2] $ (x-y)^{2} $ 

 

[풀이법]

위의 식을 외운 학생들은 대입만 하면 금방 풀리는 문제다.

[1] 항상 문제를 풀 때,

x+y, x-y, a+b,  $ x+\frac{1}{x} $ 과 같은 덧셈 뺄셈으로 이뤄진 식을 주게 되어있다.

위의 문제라면  x+y =6 이라는 식이 있다.

이 식을 사용해서 $ x^{2}+y^{2} $ 을 만들려면, 우선 제곱을 해야 할 것 같은 느낌이 든다.

 

$ (x+y)^{2}\cdot\cdot \cdot \cdot \cdot   =x^{2}+y^{2} $ 

빈칸에 어떤 수를 넣을지 잘 생각하면 된다.

$ x^{2}+y^{2}+2xy\cdot\cdot \cdot \cdot \cdot   =x^{2}+y^{2} $ 

-2xy를 해주면 될 것 같다.

$ (x+y)^{2}-2xy=x^{2}+y^{2} $ 

가 아까 우리가 본 식이다.

여기서 차근차근 대입만 하면 된다.

 

 x+y =6, xy=-2이므로

$ 6^{2}+4=40 $ 이 된다.

 

[2] 일단 그냥 외우자.

우리에게 주어진 x +y =6을 가지고 제곱한다.

$ (x+y)^{2}\cdot \cdot \cdot =(x-y)^{2} $ 

중간에 어떤 식이 들어가는지는 각자 전개를 해본다.

 

$ x^{2}+2xy+y^{2}\cdot \cdot =x^{2}-2xy+y^{2} $ 

2xy 가 -2xy가 되려면 -4xy가 되어야 한다.

$ (x+y)^{2}-4xy=(x-y)^{2} $

 

여기에 차근차근 대입하면 된다.

 x+y =6, xy=-2 했으므로,

$ 6^{2}+8=44 $ 

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- 끝 -