[중3 기본] 4-6. 이차방정식 활용[3] 완벽 정복하기!

하이루~ 이차방정식 마지막 시간이다. 중1 에서는 일차방정식 활용 / 중2에서는 일차부등식, 연립방정식 활용, 중3에서는 이차방정식 활용이 나오게 되었다. 사실 중1~2에 비해서 난이도는 쉬운 편이니 잘 따라오면 될 것 같다.

 

수식이 깨지는 학생들은 다운로드 하시면 됩니다.

4-6. 이차방정식 활용[3].pdf

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※ 티스토리 블로그에서 소괄호가 깨지는 현상이 나타내서, 소괄호를 대괄호 [ ] 이렇게 대체했습니다.

 

Contents

1. 이차방정식 활용 풀이법

2. 식이 주어진 유형

3. 수에 대한 유형

4. 쏘아 올린 물체에 대한 유형

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1. 이차방정식 활용 풀이법

 

[1] 미지수를 정한다. 보통 구하라는 것을 x라고 두면 되는데, 문제에 따라서 조금씩 바뀌는 것도 있으니, 문제들을 풀어보면서 본인이 익혀야 한다.

[2] 방정식을 세워서 열심히 풀면 되겠다.

 

 

2. 식이 주어진 유형

 

우리에게 가장 쉬운 유형이다. 문제 속에서 공식이 있다보니 식을 세우기 간편하다.

 

예제1) n각형의 대각선의 개수는 $ \frac{n(n-3)}{2} $ 개다. 대각선의 개수가 27개인 다각형은 몇 각형인지 구하라.

step1) 미지수를 x로 둘 필요 없이, n이라는 미지수를 써서 n각형을 표현했다. 바로 식을 세우자.

$ \frac{n(n-3)}{2} =27 $ 

$ n(n-3)=54 $ 

$ n^{2}-3n-54=0 $ 

$ (n-9)(n+6)=0 $ 

n=9 or -6인데,

-6각형은 없으므로, 구하는 다각형은 구각형이다.

 

예제2) 자연수 1부터 n까지의 합은 $ \frac{n(n+1)}{2}$ 이다. 합이 210이 되려면, 1부터 얼마까지의 자연수를 구해야 하는지 풀어보자.

$ \frac{n(n+1)}{2}=210 $ 

$ n(n+1)=420 $ 

$ n^{2}+n-420=0 $ 

$ (n+21)(n-20)=0 $

n=20

따라서 합이 210이 되려면 1부터 20까지의 자연수를 더해야한다.

 

 

3. 수에 대한 유형

 

풀이 tip)

1) 연속하는 두 정수는 x, x+1 또는 x-1, x 또는 x+10, x+11 어떤 식이라도 상관없다.

2) 연속하는 세 정수는 보통 x-1, x, x+1 또는 x, x+1, x+2 로 둔다.

3) 연속하는 두 짝수는 x, x+2 로 둔다.

4) 연속하는 두 홀수는 x, x+2 로 둔다.

5) 연속하는 세 개의 3의 배수는 x, x+3, x+6

6) 연속하는 세 개의 4의 배수는 x, x+4, x+8

7) 연속하는 네 개의 6의 배수는 x, x+6, x+12, x+18

이정도 했으면 어느 정도 감이 왔을 것이라 생각이 든다.

※ 생각보다 많이 하는 실수는 연속하는 3의 배수라고 하면,  x, 3x, 6x 라 하는 학생들이 있는데, 잘못된 방법이다. x=1일 때만 한정이고, x=2라면, 2, 6, 12 로 되면서 연속하는 3의 배수가 되지 않는다.

 

 

예제3) 연속하는 세 자연수가 있다. 가장 큰 수의 제곱은 다른 두 수의 제곱의 합과 같을 때 이 세 수를 구하시오.

 

step1) 미지수를 x-1, x, x+1 이라 하자.

step2)

가장 큰 수의 제곱 $ (x+1)^{2} $

다른 두 수의 제곱의 합 $ (x-1)^{2}+x^{2} $

$ (x+1)^{2}=(x-1)^{2}+x^{2} $

$ x^{2}+2x+1=x^{2}-2x+1+x^{2} $

$ x(x-4)=0 $

x=0, x=4 인데, 우리가 처음에 둔 미지수 x-1 >0 이므로, x=4가 된다.

따라서 연속하는 세 자연수는 3, 4, 5 이다.

 

 

4. 쏘아 올린 물체에 대한 문제

 

중3 이차방정식 활용에서 빈출되는 유형이다. 문제에 따라 지면에서 쏘아 올렸는지, 50m에서 쏘아올렸는지, 100m에서 쏘아올렸는지, 초속 100m로 쐈는지, 5m로 쐈는지 우리는 전혀 관심이 없다. 그냥 식이 나오니깐, 맞게 대입만 잘 하면 될 것 같다.

예제4) 지면에서 초속 30m로 쏘아 올린 물체의 t초 후의 높이는 $ (30t-5t^{2}) $ m 라 한다.

이 물체의 높이가 40m가 되는 것은 쏘아 올린 지 몇 초 후인지 구하여라.

 

[1] 

$ 30t-5t^{2}=40 $

$ -5t^{2}+30t-40=0 $

$ t^{2}-6t+8=0 $

$ (t-2)(t-4)=0 $

따라서 물체의 높이가 40m가 되는 것은 쏘아 올린 지 2초 후 또는 4초 후 이다.

 

예제5) 물체가 지면에 떨어지는 것은 몇 초 후인지 구하시오.

물체가 지면에 떨어지는 것은 높이가 0이 되는 것이다.

$ 30t-5t^{2}=0 $

$ t^{2}-6t=0 $

$ t(t-6)=0 $

t=0 또는 t=6

 

0초는 쏘아 올릴 때의 높이이고, 6초가 되어야지 지면에 떨어지는 것을 알 수 있다.

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- 끝 -