[중3 기본] 5-1. 이차함수와 그 그래프 [1] 완벽 정복하기!

하이루~ 이차함수 첫 번째 시간이다. 중2에서 일차함수를 공부하긴 했었는데, 일차함수가 잘 되어 있는 학생은 이차함수 배우면서 도움이 많이 될 것이고, 혹시 기억이 나지 않는다고 해도, 이차함수 처음 시작하는데 밀접한 관련은 없으니 따라오는 데는 문제가 없을 것 같다. 그래도 일차함수 전반부 내용인 절편, 기울기, 평행이동 정도는 복습을 하는 것이 좋겠다.

 

2023.03.29 - [수학의 모든 것/중등수학] - [중2 기본] 5-2. 일차함수의 뜻과 그래프 완벽 정복하기!

[중2 기본] 5-2. 일차함수의 뜻과 그래프 완벽 정복하기!

 

2023.04.01 - [수학의 모든것/중등수학] - [중2 기본] 5-3. 일차함수 절편과 기울기 완벽 마스터하기!

[중2 기본] 5-3. 일차함수 절편과 기울기 완벽 마스터하기!

 

수식이 깨지는 학생들은 다운로드하시면 됩니다.

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※ 티스토리 블로그에서 소괄호가 깨지는 현상이 나타내서, 소괄호를 대괄호 [ ] 이렇게 대체했습니다.

 

Contents

1. 이차함수란 무엇인가?

2. 이차함수  $ y=x^{2}, y=-x^{2} $ 의 그래프의 성질

3. 이차함수 $ y=ax^{2} $ 의 그래프의 성질

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1. 이차함수란 무엇인가?

 

함수 y=f(x) 를 y는 x에 대한 함수라고 하는데,

$ y=ax^{2}+bx+c  $ [a, b, c는 상수이고, a≠0]인 이차식의 형태로 나타내어진다면,

이 함수를 x에 대한 이차함수라고 부른다.

 

[1] $ y=ax^{2}+bx+c  $ 에서 a는 무조건 0이 되면 안 된다. a가 0이 되는 순간 이차항의 계수가 사라지기 때문에, 이차함수가 되지 않는다. 하지만, b와 c는 0이어도 상관없다.

[2] 이차식, 이차방정식, 이차함수 형태를 공부해 보자.

이차식 : $ ax^{2}+bx+c  $ 

이차방정식 : $ ax^{2}+bx+c=0  $ 

이차함수 :  $ y=ax^{2}+bx+c $

 

등호가 없으면 방정식, 함수가 아니라는 것만 알자. ~식이라고 표현하면 되겠다.

이차방정식은 등호가 있어야 하고, 모든 항을 좌변으로 이항 했을 때, 우변이 =0 꼴이 나오면 되겠다. 이차방정식이 되려면, 당연히 좌변에 가장 큰 이차항이 있어야 한다.

이차함수는 방정식에서 0 대신 y를 넣었다고 쉽게 생각하자. x와 y 두 변수 간의 관계를 구하는 식이며, 변수가 a, b가 있더라도 이차함수가 똑같이 된다.

 

예제1)

1) $ y=3x^{2} $ [이차함수]

2) y= x-2 [일차함수]

3) $ y=-x^{2}+3x+7 $ [이차함수]

4) $ -x^{2}+3x+7 $ [이차식]

5) x-2=0 [일차방정식]

6)  $ y=-\frac{2}{x^{2}}+4x+3 $  [이차함수가 아니다]

 

 

2. 이차함수  $ y=x^{2}, y=-x^{2} $ 의 그래프의 성질

 

첫 번째로, 이차함수 $ y=x^{2} $ 그래프의 성질에 대해서 알아보자.

우선 $ y=x^{2} $ 의 그래프를 그려보자.

 

x	-2	-1	0	1	2
y	4	1	0	1	4

 

우리가 처음 보는 식이기 때문에, 처음에는 x, y에 하나하나 수를 넣어서 순서쌍을 만들어 낸다.

좌표평면에 차근차근 순서쌍을 찍어보자.

 

 

[1] 원점 O [0, 0]을 지나고, 아래로 볼록한 곡선의 그래프이다. 이때, [0,0]을 꼭짓점이라 부른다.

[2] y축에 대칭이다. y축을 기준으로 주욱 접으면 포개어진다. 이때, y축을 대칭축이라고도 말한다.

 

※ 참고로 y축은 x=0 의 그래프이고, x축은 y=0의 그래프이다.

대칭축이 y축이므로, 대칭축의 방정식은 x=0 이라고 하면 되겠다.

 

[3] 위에서 축의 방정식이 x=0 이라고 했다. x=0을 기준으로

 

x<0 , x>0 구간을 2개로 나눈다.

 

x<0 이면, x의 값이 증가할 때, y의 값은 감소한다.

x>0 이면, x의 값이 증가할 때, y의 값은 증가한다.

 

 

두 번째로, 이차함수 $ y=-x^{2} $ 의 그래프의 성질

우선 $ y=-x^{2} $ 의 그래프를 그려보자.

 

x	-2	-1	0	1	2
y	-4	-1	0	-1	-4

 

x에 수를 차근차근 넣어서 y의 값을 구해보았다.

 

 

[1] 원점 O [0, 0]을 지나고, 위로 볼록한 곡선의 그래프이다.

[2] y축에 대칭이다. y축을 기준으로 주욱 접으면 포개어진다. 이때 대칭축은 y축이 되고, 축의 방정식은 x=0 이라고 하면 되겠다.

[3]

x<0 이면, x의 값이 증가할 때, y의 값은 증가한다.

x>0 이면, x의 값이 증가할 때, y의 값은 감소한다.

 

[4] $ y=x^{2}, y=-x^{2}$  는 서로 x축에 대해 대칭이다.

두 그래프를 좌표평면에 그려놓고, x축을 접는 선으로 하여 접으면 완전히 포개어진다.

 

 

3. 이차함수 $ y=ax^{2} $ 의 그래프의 성질

 

아까 위의 내용과 유사하지만, 다시 정리해 보자.

 

[1] 원점 O [0, 0]을 꼭짓점으로 하는 포물선이다.

[2] y축에 대칭이다. [축의 방정식은 x=0]

[3] a의 부호에 따라 그래프의 모양이 달라진다.

 

a>0 인, $ y=x^{2},y=3x^{2} $ 과 같은 식이라면, 아래로 볼록한 그래프이다.

a<0 인, $ y=-x^{2}, y=-5x^{2} $ 과 같은 식이라면, 위로 볼록한 그래프이다.

 

[4] a에 대해서 조금 더 분석해 볼 필요가 있다.

$ y=x^{2} $ vs $ y=3x^{2} $  vs $ y=-x^{2} $ 

 

어떤 그래프는 위로 볼록하고, 아래로 볼록하지만, 하나로 정리한다.

a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아진다. [폭이 좁아진다는 말은 그래프가 더 샤프하게, 날렵하게 생긴 것을 뜻한다.]

 

[5] $ y=ax^{2} $ 과 $ y=-ax^{2} $ 의 그래프는 x축에 서로 대칭이다.

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- 끝 -