[중1 기본] 1-3. 소인수분해 완벽 마스터하기

여러분 하이루~ 중1-1 1단원 3번째 시간입니다. 전 시간에 소인수분해에 대해서 공부하고, 소인수분해를 이용해서 약수와 약수의 개수 구하는 방법까지 구해봤어. 사실 소인수분해 양이 너무 많아서, 2시간으로 나누었거든. 이번 시간 소인수분해 후반부 공부해 보자.

혹시 소인수분해 처음 보는 학생은 앞 강의인 1-2 소인수분해 [전반부] 파트를 공부하고 여기로 왔으면 좋겠다!

 

Contents

1. 제곱수란?

2. 소인수분해를 이용하여, 제곱수 관련 문제 풀이

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1. 제곱수란?

 

첫 번째 시간에 거듭제곱이라는 비슷한 용어를 배웠어. 본론으로 바로 들어가면,

제곱수란 어떤 정수의 제곱이 되는 정수를 말하는데, 중1 수준에서는 여기까지는 몰라도 된단다. 나중에 중3 이상이 되어서 배우도록 하고, 지금은 제곱수를 어떤 [수]의 제곱이 되는 수를 제곱수라고 생각하면 될 것 같아.

예를 들어볼게. 

 

그런데 센스 있는 친구들은 여기까지 5개의 예를 들어보면서, 뭔가 캐치를 한 친구들도 있을 거야.

9, 16, 36, 144가 제곱수가 되긴 하는데, 소인수분해 된 꼴을 잘 살펴볼까?

소인수는 여러 가지 나올 수가 있지만, 지수는 항상 2, 4, 6 … 짝수가 나와야 하거든. 이게 가장 중요한 포인트야!

 

⁕정리 1. 제곱수란? [어렵게] 어떤 정수의 제곱이 되는 정수 [쉽게] 똑같은 수를 두 번 곱해서 나오는 수를 제곱수라고 한다. 예를 들면, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169 … 있겠지. 2. 제곱수의 특징? 제곱수를 소인수분해 했을 때, 소인수는 관계없으나 지수가 무조건 짝수가 되어야 한다.

 

제곱수 개념이 어렵다 보니, 관련 문제로 넘어가 보자. 자세하게 설명을 해줄게.

 

2. 소인수분해를 이용하여, 제곱수 관련 문제 풀이

 

문제1) 12에 자연수를 곱하여 어떤 자연수의 제곱이 되도록 할 때, 곱할 수 있는 가장 작은 자연수를 구하여라. step1) 12를 소인수분해 한다. step2) 소인수가 2, 3이 나왔는데, 지수가 홀수인 소인수를 찾는다. 2의 2제곱, 3의 1제곱 이므로, 3을 찾았다. 보통 3의 1제곱에서 1은 생략이 가능해서, 3이라고만 적는다. step3) 제곱수를 만들려면, 지수가 홀수면 안 되기 때문에, 3을 한 번 더 곱해서 3의 2제곱으로 만들어 준다. 따라서 곱할 수 있는 가장 작은 자연수는 3이 된다.

여기서 알 수 있는 점은, 지수가 홀수인 소인수를 찾아서, 그 수를 한 번 더 곱해주면 짝수로 바뀐다는 것!!

 

문제2) 189를 자연수로 나누어 어떤 자연수의 제곱이 되도록 할 때, 나눌 수 있는 가장 작은 자연수를 구하여라.   step1) 189를 우선 소인수분해 해야겠지? step2) 소인수는 3과 7이고, 지수가 3의 3제곱, 7의 1제곱으로 둘 다 홀수이다. 각 수를 한 번씩 나누어 준다. 따라서 나눌 수 있는 가장 작은 자연수는 21이다.

나누기도 곱하기와 마찬가지로, 지수를 짝수로 만들어주기 위해서 같은 수로 한 번 더 나누면 된단다.

 

이번 문제는 난이도가 확 올라가긴 했는데, 각 문제집 심화문제로 나오는 유형이니 연습해 볼게.

문제3) 63에 자연수를 곱하여 어떤 자연수의 제곱이 되도록 할 때, 3번째로 작은 수를 구하여라.   step1) 지금쯤이면 일단 소인수분해는 자동으로 튀어나오겠지? 63 소인수분해 하기 step2) 곱해야 하는 가장 작은 자연수를 생각해본다. 소인수7의 지수가 1이니깐, 7을 곱해준다. 그러면 가장 작은 자연수는 7이다. 과연 두 번째로 작은 자연수는? 여기서부터 많이 어렵거든. 하지만 이 매커니즘을 알면, 웬만한 심화 문제도 다 잘 풀 수 있게 될거야. 잘 기억하자! step3) 우선 우리의 목표는 자연수의 제곱이 되는 것이 우선이므로, 7은 항상 곱해준다. 왜냐면 일단 지수를 짝수로 만들긴 해야하니깐. 그리고 나서 두 번째는, 2의 2제곱이 와야한다. 세 번째로 작은 수는 7은 무조건 오고, 3의 제곱이 와야한다. 그러면 네 번째로 작은 수 또한 7이 오고 4의 제곱이 와야겠네?  그러면 과연 열 번째로 작은 자연수는? 7은 무조건 곱하고, 10의 제곱이 와야겠다.  매커니즘 이해했지? 꼭 문제에 적용시켜서 풀 수 있도록 해.

 

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마지막 문제 3번이 난이도가 높았는데, 어렵지만 포기하지 말고, 내용을 잘 기억하고 있기를 바랄게! 댓글 열어놓을 테니깐, 궁금한 거 있으면 언제든지 질문도 부탁해.

다음 시간은 공약수와 최대공약수로 보자!

 

-끝-