[중1 기본] 1-4. 공약수 최대공약수 완벽 마스터하기

여러분 하이루~ 중1-1 기본과정 4번째 시간이야. 전 시간에 소인수분해 마스터하고, 이번 시간 공약수 / 최대공약수 배워 볼 시간이야. 누구보다도 자세하게 알려 줄테니, 잘 따라오면 수학 실력이 금방 늘 수 있을 것이라고 확신할 수 있어. 고고싱!!

 

Contents

1. 공약수

2. 최대공약수 (Greatest common divisor)

3. 최대공약수 구하는 방법 (2가지)

4. 서로소

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1. 공약수

 

1단원 첫 번째 시간에 약수 배웠는데 기억나니?

어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수를 약수라고 한단다.

 

예를 들면, 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12 이고,  12를 1, 2, 3, 4, 6, 12인 약수로 나누었을 때, 나머지가 생기지 않고 딱 떨어진단다. 

 

질문) 12의 공약수는 무엇일까?

답변) 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12 라는 것을 알겠는데, 공약수는 최소한 숫자가 2개가 있어야 하는 것 아닌가요?

 

정답이야. 두 수 이상을 동시에 나누어떨어지게 하는 수를 공약수라고 하거든. 12의 공약수를 구하시오? 17의 공약수를 구하시오? 라는 말은 잘못된 말인 것을 알 수 있지.

 

예를 들어 볼게.

문제1) 12와 18의 공약수를 구하세요. step1) 12와 18의 약수를 구한다. 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12 18의 약수는 1, 2, 3, 6, 9 ,18 이다. step2) 각각의 약수에서 공통이 되는 약수를 찾는다. 1, 2, 3, 6이 된다.

⁕정리1 1. 약수란? 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수를 말한다. 2. 공약수란? 두 수 이상을 동시에 나누어떨어지게 하는 수이다.

 

 

2. 최대공약수 (Greatest common divisor)

 

방금 위에서 12와 18의 공약수를 구해봤지? 1, 2, 3, 6 이라고 다들 구해봤을텐데, 공약수 중 가장 큰 수를 최대공약수라 한단다. 그러면 12와 18의 최대공약수는 6 이 되겠지?

여기까지는 개념이 쉽거든. 충분히 다 따라왔을 것이라 생각하고, 조금만 난이도 있는 질문을 해볼게!

질문) 120과 180의 공약수를 구해볼까?

답변) 쌤!! 12와 18 정도만 되어도 약수를 일일이 다 적은 뒤 공통된 약수를 찾으면 되는데, 120, 180은 약수를 일일이 적기도 힘들 것 같아요. 쉽게 풀어내는 방법이 없나요?

그렇지. 직접 약수를 다 적어서 공약수를 구하면 충분히 가능하지만, 너무 힘들잖아. 그래서 쉬운 방법을 알려줄게.

이번 시간에 배울 내용 중 가장 중요한 문장이라 생각해! 일단 10번만 따라 읽으면서, 문장을 잘 생각해보도록 해.

 

★ 두 수 이상의 공약수는 최대공약수의 약수이다.

 

아까 12과 18의 공약수와 최대공약수 구했던 문제 기억나니?

12와 18의 공약수는 1, 2, 3, 6 이였고, 그 중 가장 큰 6이 최대공약수가 되었는데, 역발상을 해보는거야.

과연 12와 18의 최대공약수를 먼저 6이라고 구할 수 있으면, 6의 약수가 1, 2, 3, 6으로 공약수가 되겠구나 라고 생각을 해보는거지.

 

설명을 12와 18로만 계속 하는 것 같아서 다른 예를 들어볼게.

문제2) 30과 45의 공약수를 구하라. step1) 30, 45의 약수를 구한다. 30의 약수 - 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 45의 약수 - 1, 3, 5, 9, 15, 45 step2) 공통인 약수를 찾는다. 1, 3, 5, 15 가 공약수가 되고, 15가 가장 약수 중 가장 큰 수인 최대공약수가 된다. 공약수가 1, 3, 5, 15이고 최대공약수가 15라고 했으니, 혹시 최대공약수 15의 약수는 뭐가 될까?

[15의 약수는 1, 3, 5, 15이므로 기존에 구했던 공약수와 같네요?]

그래서 우리는 이제부터 약수를 다 구하는 것이 아닌, 최대공약수를 빠르게 구해서, 최대공약수의 약수를 구하면, 공약수를 구할 수 있을 거야.

설명이 많이 헷갈리고 복잡했는데, 정리를 해줄게.

⁕정리2 1. 두 수 이상의 공약수를 구하라고 하면, 최대공약수를 먼저 구한다. 2. 최대공약수의 약수가 즉 공약수이다.

 

 

3. 최대공약수 구하는 방법 (2가지)

 

자! 그러면 우리는 이제부터 최대공약수를 구하는 방법만 알면 되겠다.

초5-1 2단원 약수와 배수 단원에서는 나누기를 사용해서 최대공약수를 구했는데, 중1에서는 1가지가 더 추가되었어.

문제3) 30과 45의 공약수를 구해볼까?

방법1) 거꾸로 나누기로 최대공약수를 구한 뒤, 공약수를 구한다. step1)  꼭 3, 5 소수로 나눌 필요 없이, 한 번에 15로 나누는 것이 되는 학생들은 바로 적어도 된단다. 왼쪽에 있는 숫자를 다 곱하면 최대공약수가 된다. step2) 최대공약수가 15이므로, 15의 약수를 구하면 공약수이다. 15의 약수 → 1, 3, 5, 15 [공약수]

방법2) 각 수를 소인수분해를 한 후 최대공약수를 구한다. step1) 30과 45를 소인수분해 한다. step2) 공통인 소인수 중에서 거듭제곱의 지수가 작은 것을 선택하여 적는다. 두 수를 비교해보면, 2는 한 쪽 밖에 없으니깐 최대공약수에 포함이 안돼. 3은 한 쪽은 3의 1제곱 / 다른 한 쪽은 3의 2제곱 이니깐, 3의 1제곱을 쓰면 돼. 5는 둘 다 5의 1제곱으로 같으니깐, 5의 1제곱 쓰면 된단다.

방법1)은 초등학교 시절에도 배운 적이 있어서 괜찮을텐데, 방법2)가 낯설 것 같아서, 쌤이 극단적인 예를 하나 들어볼게.

 

문제4) 다음 시간에 배울 최소공배수 구하는 방법하고 헷갈리니깐, 확실하게 이해하고 넘어갈 수 있도록 하자.  아마 한 번 기억한다면 쉽게 까먹는 부분은 아니야.

 

4. 서로소

마지막으로 배울 내용이야.

아까 12와 18의 공약수는 6이라고 했지?

질문) 그러면 12와 13의 최대공약수는 뭘까?

답변) 12와 13이 공통으로 나누어지는 수가 없는데, 1 아닌가요?

 

정답이야. 최대공약수가 1인 두 자연수를 서로소라고 한단다.

다른 예로, 2와 3, 4와 11, 2와 9, 13과 17 이런 수들은 최대공약수가 1이기 때문에, 서로소라고 부르게 돼.

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이렇게 공약수와 최대공약수 서로소 까지 배웠는데, 크게 어려운 내용은 아니였을 거라 생각해.

다음 시간은 공배수와 최소공배수로 만나자!

 

- 끝 -