여러분 하이루~ 중1-1 1단원 3번째 시간입니다. 전 시간에 소인수분해에 대해서 공부하고, 소인수분해를 이용해서 약수와 약수의 개수 구하는 방법까지 구해봤어. 사실 소인수분해 양이 너무 많아서, 2시간으로 나누었거든. 이번 시간 소인수분해 후반부 공부해 보자.
혹시 소인수분해 처음 보는 학생은 앞 강의인 1-2 소인수분해 [전반부] 파트를 공부하고 여기로 왔으면 좋겠다!
Contents
1. 제곱수란?
2. 소인수분해를 이용하여, 제곱수 관련 문제 풀이
1. 제곱수란?
첫 번째 시간에 거듭제곱이라는 비슷한 용어를 배웠어. 본론으로 바로 들어가면,
제곱수란 어떤 정수의 제곱이 되는 정수를 말하는데, 중1 수준에서는 여기까지는 몰라도 된단다. 나중에 중3 이상이 되어서 배우도록 하고, 지금은 제곱수를 어떤 [수]의 제곱이 되는 수를 제곱수라고 생각하면 될 것 같아.
예를 들어볼게.
![]() |
그런데 센스 있는 친구들은 여기까지 5개의 예를 들어보면서, 뭔가 캐치를 한 친구들도 있을 거야.
9, 16, 36, 144가 제곱수가 되긴 하는데, 소인수분해 된 꼴을 잘 살펴볼까?
소인수는 여러 가지 나올 수가 있지만, 지수는 항상 2, 4, 6 … 짝수가 나와야 하거든. 이게 가장 중요한 포인트야!
⁕정리 1. 제곱수란? [어렵게] 어떤 정수의 제곱이 되는 정수 [쉽게] 똑같은 수를 두 번 곱해서 나오는 수를 제곱수라고 한다. 예를 들면, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169 … 있겠지. 2. 제곱수의 특징? 제곱수를 소인수분해 했을 때, 소인수는 관계없으나 지수가 무조건 짝수가 되어야 한다. |
제곱수 개념이 어렵다 보니, 관련 문제로 넘어가 보자. 자세하게 설명을 해줄게.
2. 소인수분해를 이용하여, 제곱수 관련 문제 풀이
문제1) 12에 자연수를 곱하여 어떤 자연수의 제곱이 되도록 할 때, 곱할 수 있는 가장 작은 자연수를 구하여라. step1) 12를 소인수분해 한다. ![]() step2) 소인수가 2, 3이 나왔는데, 지수가 홀수인 소인수를 찾는다. 2의 2제곱, 3의 1제곱 이므로, 3을 찾았다. 보통 3의 1제곱에서 1은 생략이 가능해서, 3이라고만 적는다. ![]() step3) 제곱수를 만들려면, 지수가 홀수면 안 되기 때문에, 3을 한 번 더 곱해서 3의 2제곱으로 만들어 준다. 따라서 곱할 수 있는 가장 작은 자연수는 3이 된다. |
여기서 알 수 있는 점은, 지수가 홀수인 소인수를 찾아서, 그 수를 한 번 더 곱해주면 짝수로 바뀐다는 것!!
문제2) 189를 자연수로 나누어 어떤 자연수의 제곱이 되도록 할 때, 나눌 수 있는 가장 작은 자연수를 구하여라. step1) 189를 우선 소인수분해 해야겠지? ![]() step2) 소인수는 3과 7이고, 지수가 3의 3제곱, 7의 1제곱으로 둘 다 홀수이다. 각 수를 한 번씩 나누어 준다. ![]() 따라서 나눌 수 있는 가장 작은 자연수는 21이다. |
나누기도 곱하기와 마찬가지로, 지수를 짝수로 만들어주기 위해서 같은 수로 한 번 더 나누면 된단다.
이번 문제는 난이도가 확 올라가긴 했는데, 각 문제집 심화문제로 나오는 유형이니 연습해 볼게.
문제3) 63에 자연수를 곱하여 어떤 자연수의 제곱이 되도록 할 때, 3번째로 작은 수를 구하여라. step1) 지금쯤이면 일단 소인수분해는 자동으로 튀어나오겠지? 63 소인수분해 하기 ![]() step2) 곱해야 하는 가장 작은 자연수를 생각해본다. 소인수7의 지수가 1이니깐, 7을 곱해준다. 그러면 가장 작은 자연수는 7이다. 과연 두 번째로 작은 자연수는? 여기서부터 많이 어렵거든. 하지만 이 매커니즘을 알면, 웬만한 심화 문제도 다 잘 풀 수 있게 될거야. 잘 기억하자! ![]() step3) 우선 우리의 목표는 자연수의 제곱이 되는 것이 우선이므로, 7은 항상 곱해준다. 왜냐면 일단 지수를 짝수로 만들긴 해야하니깐. 그리고 나서 두 번째는, 2의 2제곱이 와야한다. 세 번째로 작은 수는 7은 무조건 오고, 3의 제곱이 와야한다. 그러면 네 번째로 작은 수 또한 7이 오고 4의 제곱이 와야겠네? 그러면 과연 열 번째로 작은 자연수는? 7은 무조건 곱하고, 10의 제곱이 와야겠다. 매커니즘 이해했지? 꼭 문제에 적용시켜서 풀 수 있도록 해. |
마지막 문제 3번이 난이도가 높았는데, 어렵지만 포기하지 말고, 내용을 잘 기억하고 있기를 바랄게! 댓글 열어놓을 테니깐, 궁금한 거 있으면 언제든지 질문도 부탁해.
다음 시간은 공약수와 최대공약수로 보자!
-끝-
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