[중1 기본] 1-1. 소수와 합성수, 거듭제곱 완벽 마스터하기!

Prologue

여러분 하이루~ 지금까지 육아 관련 글만 쓰다가, 처음으로 수학을 공부하게 되었네요. 지금은 열심히 육아 공부를 하고 있지만, 원래 본업은 수학쌤이랍니다. 현재는 수성구 범어동에서 수업을 하고 있고, 오랫동안 수학을 가르치면서 초등, 중등, 고등에 대한 수학만큼은 누구보다도 여러분께 자세히 잘 알려줄 수 있을 것 같아요. 아직 수식을 넣고, 글을 쓰는 것은 부족하지만, 열심히 수업해 보도록 하겠습니다. 쌤의 수업은 여러분과 대화하는 방식으로 궁금증을 해결하면서 수업할 거예요. 시작!

※ 같이 공부하는 대상이 학생이라 생각하고, 수학 공부 시간에는 편하게 말을 놓도록 하겠습니다!

 

Contents

1. 거듭제곱

2. 소수와 합성수

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1. 거듭제곱

 

중1-1 1단원 첫 번째 시간이야. 

1단원의 큰 제목은 소인수분해인데, 처음 보는 단어다. 그치? 소인수분해를 공부하기 위해 먼저 거듭제곱과 소수와 합성수에 대해서 알아야 하거든. 우선 거듭제곱에 대해서 배워보자. 쌤이 간단한 질문을 해볼게.

질문) 3+3+3+3+3+3 은 무엇일까? 답) 3을 6번 더했으니, 3 × 6 을 해서 18이 나옵니다.

정답! 방금처럼 같은 수를 반복해서 더할 때, 간편하게 곱셈을 사용할 수 있거든. 예를 들어, 9+9+9+9+9+9+9를 계산할 때, 차근차근 더해도 되지만, 9 × 7으로 표현할 수 있다면, 쉽게 63이라고 구할 수 있을 거야. [구구단 모르는 학생 없지?]

 

질문) 3 × 3 × 3 × 3 × 3 은 무엇일까?  답) 차근차근 다 계산해보니 243 이라는 수가 나옵니다.

정답이야. 귀찮겠지만 실제로 답을 구할 때에는 정말 3을 5번 곱하긴 해야돼. 하지만 우리는 이것을 쉽게 표현하기로 약속했거든. [수학하는 사람들은 깔끔한 것을 좋아한단다.]

그래서 진짜로 3을 5번 곱해서 243이라고 쓰기보다는,  3 × 3 × 3 × 3 × 3 = $3^5$ 라 한단다. 

[모바일에서 보면 수식이 깨져서, 이상한 달러 표시로 보일 수도 있는데, 사진으로 첨부해 줄게요.]

이것을 거듭제곱이라 하는데, $3^5$ 에서 밑에 있는 큰 숫자를 밑이라 부르고, 위에 작은 숫자를 위! 가 아닌, 지수라고 한단다.

이것을 3의 다섯 제곱이라고 읽으면 된단다. 혹시 3의 다섯 제곱이 아닌 3의 5승이라고 읽는 사람들도 있지만, 예전 어른들이 공부할 때, 일본어에서 나온 말이라 우리는 몇의 몇 제곱이라는 말을 쓰도록 할게.

같은 방법으로, a×a×a=$a^3$ 는 a의 세제곱, b×b×b×b=$b^4$ 는 b의 네제곱으로 읽으면 되겠다.

 

 

2. 소수와 합성수

 

이제는 소수와 합성수에 대해 공부를 해볼 차례인데, 시작하기 전에 간단한 질문을 해볼게.

질문) 혹시 자연수가 뭐지? 정답) 1, 2, 3, 4··· 아닌가요? 0은 포함하지 않는 것이라고 알고 있어요.

정답!　자연수란 1부터 1씩 커지는 수를 말한단다. 우리는 초등학교 때에 자연수를 홀수와 짝수로 나누었거든.

TIP) 초등학교 시절에는 자연수를 홀수와 짝수로 나누었단다. 홀수 : 일의 자리가 1, 3, 5, 7, 9 인 수  짝수 : 일의 자리가 2, 4, 6, 8 ,0 인 수

우리가 중1이 되었으니, 자연수를 조금 더 세련되게 나누어 보도록 할까?

자연수를 1과 소수와 합성수로 나눕니다. 1 [약수의 개수가 1개] 소수 [약수의 개수가 2개] 합성수 [약수의 개수가 3개 이상]

간단히 설명하면 자연수를 약수의 개수로 1, 소수, 합성수로 나눌 수 있단다. 그러면 이제 본격적으로 소수와 합성수에 대해서 알아보도록 하자. 

※ 소수 [prime number] : 1보다 큰 자연수 중 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수 ※ 합성수 [composite number] : 1보다 큰 자연수 중 소수가 아닌 수

아까 쌤이 소수를 약수의 개수가 2개 / 합성수를 약수의 개수가 3개 이상이라고 말했는데, 학교 시험에서 소수와 합성수의 뜻 [정의]를 묻는 문제에서, 이렇게 대답하면 감점이 될 거야. 왜냐면 수학 용어에는 그 뜻이 정확하게 정해져 있거든. 그래서 우리는 용어에 맞는 뜻을 정확하게 말할 수 있는 것도 중요하단다. 

질문) 쌤! 그러면 1보다 큰 수 중 약수가 2개 인 것이 소수인 것은 알겠는데, 하나하나 다 찾아야 하나요?

음... 솔직히 말하면 하나하나 다 찾는 것이 맞아. 하지만 배수를 이용해서 조금 더 빠르게 찾아낼 수도 있거든. 말로 설명하면 복잡하니 순서대로 그려가면서 차근차근 구해보도록 할게.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50

쌤이 1부터 50까지 다 적어보았어. 여기서 소수를 찾아보도록 하자. 1은 소수도 합성수도 아니란다. 1은 제외 

바로 2로 넘어갈 텐데, 2는 약수가 1, 2로 2개잖아? 그러니깐 소수가 되겠구나. 소수에 동그라미를 쳐볼게.

여기서 중요한데, 3으로 가지 말고, 2의 배수인 4로 가볼게.

4의 약수는 1, 2, 4로 약수의 개수가 3개이므로, 합성수!

그다음 2의 배수인 6은 약수가 1, 2, 3, 6으로 합성수가 되겠구나.

여기서 중요한 점이 무엇이냐면, 2 가 소수인 것은 이해가 되니?

그러면 2의 배수인 4, 6, 8…이라는… 수들은 2를 무조건 약수로 갖게 되므로 무조건 합성수가 된단다. [아까 쌤이 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수를 소수라고 했는데, 2를 추가로 약수로 가지게 되면 합성수가 되겠지?] 그래서 2를 제외한 2의 배수는 그림에서 다 지워보도록 할게.

1부터 50까지의 수 중 거의 반이 날아갔구나.

3의 약수는 1, 3으로 소수가 되고, 아까 2의 배수와 마찬가지로 3의 배수들은 무조건 3을 약수로 가지기 때문에, 모두 합성수가 되겠지? 3의 배수도 다 지우면 될 것 같아. 

 마지막으로 5의 배수도 한 번 해볼게. 헷갈릴 것 같으니, 빨간펜으로 한번 표시해 보자.

이런 식으로 다 정리를 하면, 살아남는 애들이 소수가 될 거야.

20 이하의 소수 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19)는 많이 나오기 때문에, 많이 봐두면 좋을 것 같아. 이렇게 배수의 성질을 사용해서 소수를 구하는 방법을 에라토스테네스의 체라고 하는데, 마치 체로 치듯이 수를 걸러낸다라고 하여 붙여진 이름이야. 고대 그리스 수학자 에라토스테네스가 만들어 낸 방법이고, 얼핏 보면 고전적인 무식한 방법 같지만, 아직까지도 이 방법 말고는 소수 찾아내는 세련된 방법을 찾기가 힘들단다.

 

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이렇게 우리는 거듭제곱 / 그리고 소수와 합성수를 배웠는데, 이해가 잘 되었니?

다음 시간에는 이 내용들을 기본으로 소인수분해를 하러 갈 거란다. 

 

- 끝 -