하이루~ 전 시간에 순서쌍과 좌표에 대해서 공부했고, 이번 시간에도 역시 좌표평면에 대해서 공부해 볼 거야. 사실 이 단원은 예전 교육과정이면 초6-2 학생들이 배웠거든? 그런데 지금 중1-1 마지막 단원으로 넘어가게 되었는데, 그 당시에 초6 학생들도 많이 어려워했는데, 지금 중1 학생들이 엄청 어려워하는 단원 중 하나거든. 쌤이 정비례 반비례를 같이 붙이려고 했는데, 조금 더 각각 내용에 대해서 충실하기 위해서 단원을 나누었으니, 이번 시간에는 정비례 대해서 공부를 해보자.
Contents
1. 정비례 관계
2. 정비례 그래프
3. 정비례 그래프의 성질
1. 정비례 관계
정비례에 대해서 공부하기 전에, 쉬운 예를 들어볼게. 우선 미지수가 2개가 필요하다. 어떠한 문자라도 상관은 없지만, 우리는 보통 x, y를 사용하게 된다.
예제1) 한 개에 100원인 사탕 x개의 가격을 y원이라 하자. x 와 y 사이의 관계식을 세워보자.
| x (개수) | 1 | 2 | 3 | x |
| y (가격) | 100 | 200 | 300 | 100x |
사탕 1개의 가격은 100원이다.
사탕 2개의 가격은 200원이다.
사탕 x개의 가격은 100x 원이다.
x와 y의 관계를 살펴보자.
x가 1에서 2로 2배가 커짐에 따라서, 100원에서 200원으로 2배로 똑같이 커졌다.
x가 1에서 3으로 3배가 커졌는데, y또한 100원에서 300원으로 3배로 커졌다.
이렇게 x의 값이 2배, 3배, 4배 … 커질 때마다, y의 값이 2배, 3배, 4배 … 똑같이 커지게 되는 것을 정비례 관계라고 한다.
그리고 x와 y의 관계식은, y = 100x이라 하면 된다.
일반적으로는 y= ____ 식으로 표현을 한다.
예제2) 한 변의 길이가 x cm 인 정사각형의 둘레의 길이를 y cm 라 할 때, x와 y의 관계식을 구해보자.
| x (길이) | 1 | 2 | 3 | x |
| y (둘레) | 4 | 8 | 12 | 4x |
x의 값이 2배, 3배, 4배 … 커질 때마다, y의 값이 2배, 3배, 4배 … 커지는 것을 확인했으므로, 정비례 관계이고, y= 4x라고 하면 되겠다.
그래서 우리는 정비례 관계에 대한 식은 y = ax 모양으로 나오게 될 거야. [꼭 기억해 두자.]
처음에는 표를 그려서 차근차근 꼼꼼하게 풀어보다가 2~3번 정도 해보면 아마 머릿속에 그려질 거니깐, 차분하게 해 보자.
2. 정비례 그래프
우리는 위에서 배웠던 y=4x의 그래프를 좌표평면에 그려볼 예정이다.
우선 처음이니깐, 좌표평면에 하나하나 점을 찍어보도록 할게.
※소괄호가 티스토리 오류로 대괄호로 표현합니다.
[1, 4], [2, 8], [3, 12] 차근차근 찍어본다. 그리고 이 점을 쭈욱 이으면 되면 그래프를 그릴 수 있다.
우리는 앞으로 어떤 x, y에 대한 식을 그래프로 표현할 때, 잘 모르면 좌표평면을 그리고 점을 찍는 방법으로 그래프를 유추할 수 있다.
예제 3) y=2x, y=-x, y=-2x를 좌표평면에 그려보자.
이렇게 총 4개의 그래프를 그려보았다.
3. 정비례 그래프의 성질
쌤이 y=4x, y=2x, y=-x, y=-2x의 그래프를 4개 그려보았는데, 각각의 점들을 찾고 좌표평면에 찍느라 고생 많았다.
이제 우리는 정비례 그래프의 성질을 파악한 후 쉽게 그려보도록 하고, 특징을 알아보자.
우선 정비례 그래프는 y=ax 형태로 나오게 된다.
첫 번째로, y=4x, y=2x 같은 a가 양수인, [a > 0 ] 형태를 공부해 보자.
[1] 원점을 지나고, 오른쪽 위로 향하는 직선모양이다.
[2] 제1 사분면, 제3 사분면을 지난다.
[3] x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
[4] y=ax에서 a의 값이 커지면 y축에 가깝다. [x축에서 멀어진다. 기울기가 가파르다.]
-추가 설명-
[1번 설명] 정비례 그래프는 항상 원점을 지나고, 직선이라는 것을 위의 그래프에서 확인해 보았다.
쌤이 정말 중요한 질문 하나만 해볼게.
질문) 한 점을 지나는 직선은 몇 개 그릴 수 있을까?
답변) 엄청 많이 그릴 수 있어요.
정답이야.
질문) 그러면 두 점을 종이에 찍고, 그 두 점을 잇는 직선은 몇 개 그을 수 있을까?
답변) 두 점을 잇는 직선은 무조건 1개가 나옵니다.
정답이야. 그러면 우리는 이 성질로 앞으로 정비례 그래프를 그릴 때에는, 좌표를 2개만 찍어서 연결하면 되겠다.
무조건 원점은 지나니깐, 어느 한 점만 찍어서 원점만 연결해 주면 될 것 같아.
[3번 설명] 사실 3번 내용이 처음에 배우면 가장 헷갈리는 부분이야. 정확하게 이해하려면 중2-1 일차함수 단원에서 기울기에 대한 개념을 알아야 하는데, 중1 수준에서는 x값이 점점 커질 때마다, y의 값도 점점 커진다 정도로 이해를 해야 해
두 번째로, y=-x, y=-2x와 같은 a가 음수 즉 [a < 0]인 그래프에 대해서 알아보자.
[1] 원점을 지나고, 오른쪽 아래로 향하는 직선모양이다. (왼쪽 위로 향한다 라는 말은 웬만해서 쓰진 않는다.)
[2] 제2 사분면, 제4 사분면을 지난다.
[3] x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
[4] y=ax에서 a의 값이 작아질수록, y축에 가까워진다.
-추가 설명-
[4번 설명]
4번을 설명하기 위해서, y=-1x , y=-2x의 그래프를 보자.
y=-2x 의 그래프가 분명 경사가 가파른 것 같다. 하지만, a의 수로 보면 -1보다는 -2가 더 작다.
사실 이 부분이 a가 양수일 때와, a가 음수일 때가 헷갈리기 때문에, 수학하는 사람들이 헷갈리지 않게, 정리를 했다.
※ 정비례 관계 y=ax 는
a의 절댓값이 작을수록 y축에서 멀어진다.
a의 절댓값이 클수록 y축에 가깝다.
꼭 잘 기억하도록 하자!
겨우 정비례만 설명했는데, 많이 길어진 것 같아. 다음 단원 반비례 배울 텐데, 유사한 부분들이 많으니 정비례 그래프를 꼭 그려보고 3번 특징을 잘 연결시켜서 공부할 수 있으면 더 좋을 것 같아. 다음 시간 반비례 그래프로 보자!
- 끝 -
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