하이루~ 전 시간에 유리수와 소수를 공부하면서, 유리수의 뜻과 유한소수 무한소수 분류 방법 그리고 분수에서 유한소수를 찾는 방법까지 배워보았어. 이번 시간에는 순환소수라는 것을 처음 배워 볼 텐데, 어렵지 않고 재밌는 단원이니 잘 따라오면 되겠다. 순환소수를 분수로 바꾸는 과정이 조금 헷갈릴 수 있으니, 마지막까지 집중할 수 있도록 할게.
Contents
1. 순환소수란?
2-1. 순환소수를 분수로 표현하기 [거듭제곱 이용]
2-2. 순환소수를 분수로 표현하기 [공식]
3. 유리수와 소수의 관계
1. 순환소수란?
전 시간에 유한소수, 무한소수에 대해 배워보았는데 무한소수가 무엇이지 기억하니?
무한소수 : 소수점 아래에 0이 아닌 숫자가 무한히 많은 소수
예를 들면, 0.555 ... , 3.141592... , 3.121212...
이 세 개의 소수가 다 무한소수인데, 대충 눈으로 보더라도 뒤에 … 이것이 붙어 있으면, 끝도 없다는 수학적 기호이기 때문에, 무한소수인 것을 알 수 있겠다.
2번째 3.141592 … 이 수를 제외하고는 나머지 소수를 보자. 둘 다 무한소수 이긴 한데, 숫자의 규칙이 있는 것처럼 보인다.
우리가 이런 수를 무한소수 중 순환소수라고 말하는데,
(1) 순환소수 : 무한소수 중에서 소수점 아래의 어떤 자리에서부터 일정한 숫자의 배열이 한없이 되풀이되는 소수
(2) 순환마디 : 순환소수 소수점 아래에서 일정한 숫자의 배열이 한없이 되풀이되는 한 부분
0.555... 에서 5가 반복되므로 순환마디는 5 이다.
3.121212... 에서 12가 반복되므로 순환마디는 1 2라고 말하면 되겠다. [일이 라고 해야지, 십이라고 하지 않도록 한다.]
만약 21.12345345345 … 라는 순환소수에서는 345가 반복이 되므로, 순환마디가 345가 되겠다.
(3) 순환소수의 표현 : 순환마디의 양 끝의 숫자 위에 점을 찍어서 나타낸다.
0.555... = $ 0.\dot{5} $
3.121212... = $ 3.\dot{1}\dot{2} $
21.12345345345 ... = $ 21.12\dot{3}4\dot{5} $
주의할 점은 순화마디의 숫자가 3개 이상일 때는, 맨 앞과 맨 뒤에만 점을 찍으면 되겠다.
우리는 순환소수를 분수로 표현하는 방법을 2가지 배우게 된다. 2-1은 거듭제곱을 이용하여 순환소수를 분수로 표현하게 되는데, 사실 약간 어려운 부분들이 많다. 그래도 한 번 이해하면, 이 부분보다는 더 어렵게 시험에 나오지 않으니, 확실하게 정리하는 것이 좋다.
2-1. 순환소수를 분수로 표현하기 [거듭제곱 이용]
예제 1)순환소수 $ 0.1\dot{2}\dot{3} $ 을 분수로 나타내보자.
step1) $ 0.1\dot{2}\dot{3} $ 을 x라고 둔다.
x = $ 0.1\dot{2}\dot{3} $ = 0.123232323...
step2) 순환마디를 체크한다. 23 이 되겠다. 소수점을 순환마디의 끝으로 보낸다. 즉 소수점을 3 뒤로 보내려면 1000을 곱해야 한다.
1000x = 123.232323 …
step3) 순환마디 23 이므로, 소수점을 순환마디의 처음으로 보낸다. 2 앞으로 보내려면, 10을 곱하면 되겠다.
10x = 1.232323…
식이 2개가 나왔다. 이렇게 소수점을 곱한 이유는 소수점 뒤에 오는 수를 같게 만들려고 한다. 두 식을 빼보자.
1000x = 123.232323 …
-) 10x = 1.232323…
990x = 122
x = $ \frac{122}{990} = \frac{61}{495} $ 가 된다. [최종 답은 항상 기약분수로 표현을 해준다.]
어려웠던 문제이기 때문에, 한 문제만 더 풀어보도록 하자. 위에서 자세하게 했기 때문에, 간략하게 풀어보도록 한다.
예제 2)순환소수 $ 15.\dot{1}\dot{3} $ 을 분수로 표현해 보자.
step1) 일단 x라고 한다.
x= $ 15.\dot{1}\dot{3} $ = 15.131313...
step2) 순환마디 13 체크 후 소수점을 순환마디의 끝과 처음으로 보낸다. 100을 곱하면, 소수점이 3 뒤로, 가만히 두면 1 앞에 잘 있겠다.
100x = 1513.131313…
x = 15.131313…
step3) 소수점 아래 수를 맞추었으니, 두 식을 빼면 되겠다.
99x = 1498
x = $ \frac{1498}{99} $
2-2. 순환소수를 분수로 표현하기 [공식]
처음 설명은 어렵지만, 하다 보면 이 부분만큼 쉬운 공식도 없다. 하지만, 까먹기가 쉬운 공식이라 반복해서 학습한다.
바로 예제를 풀어보면서 익혀보자.
1) $ 0.1\dot{2}\dot{3} $
우선 소수점 세 자리까지 있으니깐, 분모에 세 자리 수가 와야 한다. 우리는 9 아니면, 0을 적을 예정이다. 순환마디가 찍혀 있는 개수만큼 9를 먼저 적어주고 나머지는 0을 적는다.
23은 순환마디가 찍혀있고, 1은 아니기 때문에, 분모는 990이 되겠다.
그리고 전체 123에서 순환마디 해당하지 않는 부분인 1을 빼면 분자는 122가 되겠다.
2) $ 12.\dot{2}13\dot{4} $
소수점 네 자리까지 있으므로, 분모에는 네 자리 수가 온다. 순환마디가 4개 다 찍혀 있으니, 9999
분자는 122134 - 12가 되겠다. [전체 수를 다 적은 후 순환마디에 해당하지 않는 부분을 뺀다.]
기약분수는 스스로 해볼 수 있도록 한다.
3) $ 1.1\dot{5} $
소수점 두 자릿수이므로, 분모는 두 자리가 된다. 순환마디가 1개 찍혀있으므로, 분모는 90
분자는 115 - 11 이 되겠다.
마지막 순환소수를 분수로 바꾸는 과정이 처음에는 어렵지만, 연습하다 보면 이것만큼 쉬운 것도 없다. 마지막에 기약분수를 하지 않아서 시험에서 많이 감점되니, 눈으로만 보지 않고 꼭 스스로 해볼 수 있도록 한다.
- 끝 -
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