[중2 기본] 4-1. 연립일차방정식 완벽 마스터하기!

하이루~ 전 시간까지 일차부등식 공부했고, 이번 시간 방정식에 대해서 공부해 볼 차례다. 중1에 일차방정식 예습이 잘 되어있는 학생은 잘 따라올 것 같고, 처음 보는 학생들은 무슨 소리지? 할 수도 있으니, 중1 일차방정식 간단한 개념 정도는 학습하도록 하자.

<중1 일차방정식>

2023.01.31 - [수학의 모든것/중등수학] - [중1 기본] 4-1. 방정식과 항등식 완벽 마스터하기

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중2 기본. 4-1 연립일차방정식.pdf

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Contents

1. 일차방정식

2. 미지수가 2개인 일차방정식

3. 미지수가 2개인 일차방정식의 해

4. 미지수가 2개인 연립일차방정식과 그 해 구하기

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1. 일차방정식

 

등식 중에서 미지수의 값에 따라서 참 또는 거짓이 되는 식을 방정식이라 한단다.

2x - 5 = 9 에서는 x = 7 이 식을 참이 되게 만드는 미지수이고, 7을 제외한 다른 수는 거짓이 된다라고 한다.

이 때, 등식이 성립하게 하는 7을 방정식의 근 또는 해라 한단다.

그리고 여기서 x는 처음부터 알고 있던 수가 아니니깐, 미지수라고 하면 되겠다.

[미지의 탐험할 때, 미지는 아직 찾지 못한 것을 말하니깐, 아직 알지 못한 수라고 생각해도 되겠다.]

 

 

2. 미지수가 2개인 일차방정식

 

[1] 미지수가 2개인 일차방정식 : 미지수가 2개이고, 그 차수가 모두 1이 되어야 한다.

예를 들면,

4x -2y +8 = 0

x +3y +7 = 0

a - 8c + 9 = 0

이렇게 미지수가 2개가 있고, 차수가 1이면 다 가능하다.

하지만 미지수가 2개인 일차방정식이 되지 않는 것을 아는 게 더 중요하다.

 

예를 들면,

3x + y -3 [방정식은 등호가 있어야 하는데, 등호가 없어서 미지수가 2개인 일차식]

2x + 8 = 0 [등호가 있어서 방정식은 맞지만, 미지수가 1개라서 미지수가 1개인 일차방정식]

-9a + 3b -c = 0 [미지수가 3개인 일차방정식]

2x +y = 2x +8 [미지수가 x, y로 얼핏 2개처럼 보이지만, 이항되어 x가 사라지면, 미지수가 1개가 된다.]

$ x^{2}+y=5 $ [미지수가 2개 긴 하지만, x의 제곱이므로 미지수가 2개인 이차방정식이다.]

 

 

3. 미지수가 2개인 일차방정식의 해

 

미지수가 x, y의 2개인 일차방정식을 참이 되게 하는 x, y의 값 또는 그 순서쌍으로 [x, y] 표시한다.

※ 쌤은 티스토리에 소괄호가 안되어서, [ ] 썼지만, 원래는 소괄호를 써야 한다.

일차방정식 x, y의 해를 구하는 것을 일차방정식을 푼다라고 한다.

 

간단한 예를 들어보자.

[중1 미지수가 1개인 일차방정식]

2x + 8 = 20의 해를 구하시오.

2x = 12

x = 6

 

[중2 미지수가 2개인 일차방정식]

x + 2y = 11의 해를 구하라.

우선 x=1, y=5 이다. x=2, y=4.5 이다. x=21, y=-5 이런 식이 되다 보면, 해가 한없이 많다.

※ 주의할 점은, 미지수가 2개인 일차방정식의 해는 1개가 아니라, 무수히 많이 나온다.

 

그래서 미지수가 2개인 일차방정식의 해를 구하려면,

[1] 식이 2개가 있어야 한다.

[2] 수에 대한 조건이 있어야 한다.

[1] 번 유형은 밑에서 알아보기로 하고, [2]번 수에 대한 조건은 x, y는 자연수라 하자. 같은 조건이 있으면 해를 유한개로 구할 수 있다.

 

다시 문제로 돌아가서,

x, y가 자연수일 때, x + 2y = 11의 해를 구하라.

x를 먼저 대입하는 것보다, y에 1부터 대입하는 것이 더 편하다.

x에 1부터 대입하면, y가 분수로 나오지만,

y에 1부터 대입하게 되면, x가 정수로 딱딱 나오게 된다.

x	9	7	5	3	1	-1
y	1	2	3	4	5	6

 

따라서, 구하는 해는 [9, 1], [7, 2], [5, 3], [3, 4], [1, 5] 이다.

 

 

4. 미지수가 2개인 연립일차방정식과 그 해 구하기

 

x + 2y = 11 과 x -y =8이라는 일차방정식이 있다고 하자.

이 2개의 일차방정식을 한 쌍으로 묶어 나타낸 것을 연립일차방정식이라 한다.

$$ \left\{\begin{matrix} 
 x+2y=1\\x-y=8 
 \end{matrix}\right. $$

 

연립일차방정식을 해를 구하는 방법은, 2개의 식을 동시에 만족하는 x, y를 찾으면 된다.

다음 시간에 해를 구하는 방법에 대해서 배우긴 할 건데, 지금은 직접 해를 다 구해서 공통되는 해를 구할 수밖에 없다.

 

x+2y =11 의 해이다.

x	9	7	5	3	1	-1
y	1	2	3	4	5	6

 

x-y =8의 해는 새롭게 구해보자.

x	11	10	9	8	7	6
y	3	2	1	0	-1	-2

 

x-y =8 또한 해가 엄청 많을 것이다. 위아래 표를 비교해 보니 2개의 공통된 해는 [9, 1]로 확인이 되었다.

따라서 연립방정식의 해는 [9, 1] 이고, x=9, y=1이라고 적어도 된다.

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- 끝 -