[중2-1 기말 3회] 일차함수 빈출 5문제 [+개념정복]

수식이 깨지는 학생들은 다운로드하시면 됩니다.

중2-1 기말 일차함수 3회차.pdf

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※ 티스토리 블로그에서 소괄호가 깨지는 현상이 나타내서, 소괄호를 대괄호 [ ] 이렇게 대체했습니다.

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[출제율 90%, 난이도 ☆☆☆★]

문제1) 용수철의 길이는 24cm이고 3g 인 물체를 매달 때마다 1cm 씩 일정하게 늘어난다고 한다. 무게가 x g인 물체를 매달았을 때 용수철의 길이를 y cm라고 한다. 30g의 물체를 매달았을 때, 용수철의 길이는?

 

정답) 34cm

해설)

step1) 변수 x, y를 잘 확인한 후, 3g인 물체에 1cm씩 늘어나므로, 1g을 기준으로 다시 구한다.

1g → 1/3 cm

xg → $ \frac{1}{3}x $ cm이다.

step2) 처음 용수철 무게가 24cm, x g를 매달 때마다 $ \frac{1}{3}x $씩 늘어나므로 식은

$ y=24+\frac{1}{3}x $

step3) 30g의 물체 매달았을 때 용수철 길이는? x에 30을 대입하면 되겠다.

$ y=24+\frac{1}{3}\times 30 =34cm $

 

 

[출제율 70%, 난이도 ☆☆★★]

문제2) 다음 세 일차함수의 그래프의 함수식이 각각 $ y=ax+b, y=ax-(b+1), y=-ax-b $라 한다. 물음에 답해보자.

 

 

[1] a와 b의 부호를 결정하라.

[2] 세 직선 l, m, n의 함수식을 결정하라. 

 

정답)

[1] a>0, b>0

[2] l: $ y=-ax-b $ , m: $ y=ax+b $, n : $ y=ax-(b+1) $

 

해설) 3개의 그래프의 개형을 확인한 후 각각의 그래프 식을 찾아본다. 어느 정도의 추론 과정이 필요해서, 최대한 스스로 고민해 볼 수 있도록 한다.

[1] 기울기를 먼저 확인해 보자.

직선 m과 n : 기울기가 평행한 상태이고, 오른쪽 위로 향하고 있으므로 기울기가 양수인 상태.

직선 l : 그래프가 오른쪽 아래로 향하고 있으므로, 기울기가 음수인 상태이고, y절편이 음수이다.

$ y=ax+b, y=ax-(b+1), y=-ax-b $

3개의 일차함수 식을 확인해 보면, 2개의 식은 기울기가 a이고, 나머지는 -a 이다.

직선 l : $ y=-ax-b $

직선 l의 그래프는 기울기가 음수, y절편이 음수 인 상태이므로, a>0, b>0 이다.

 

[2] 직선 m, n을 비교하기 위해서 y절편을 비교한다. 현재 직선m이 n보다 y절편이 더 큰 상태이다.

$ y=ax+b $ 그래프의 y절편은 b

$ y=ax-(b+1) $ 그래프의 y절편은 -b-1

[1]에서 b>0 인 것을 확인했으므로, $ y=ax+b, y=ax-(b+1) $ 보다 y절편이 더 크다는 것을 알 수 있다.

 

 

[출제율 80%, 난이도 ☆☆★★]

문제3) 일차방정식 ax +by -2=0 의 그래프는 점 [-1, 3]을 지나고 y축에 평행하다. y축에 평행한 이 직선을 x=c라고 할 때,  a+b+c의 값은? [단,  a, b, c는 상수]

 

정답) -3

해설) 좌표축에 평행한 유형들이 헷갈리고, 처음 보면 잘 풀리지 않는다.

step1) y축에 평행하다 → x =?라는 식이 나와야 한다. 이 부분이 바로 되지 않으면 일차함수 기본 복습이 필요하다.

 

2023.04.05 - [수학 개념의 모든 것/중등수학] - [중2 기본] 5-6. 일차함수와 일차방정식의 관계 완벽 마스터하기!

[중2 기본] 5-6. 일차함수와 일차방정식의 관계 완벽 마스터하기!

 

x=? 라는 식이 나와야 하므로, y의 항은 필요가 없다. b=0

step2) b=0 이므로 ax-2 =0 이다.

점 [-1, 3]를 지나고 y축에 평행한 식은 x=-1 이다.

ax-2 =0 와 x=-1이 같은 식이 되어야 하므로,

ax = 2

a=-2

따라서 a=-2, b=0, c=-1 이고, a+b+c=-3

 

 

[출제율 70%, 난이도 ☆☆☆★]

문제4) 연립방정식 

$$ \left\{\begin{matrix}
2x+3y=1\\ax-2y=-2
\end{matrix}\right. $$

에서 각 일차방정식의 그래프의 교점의 y좌표가 3일 때, 상수 a의 값은?

 

정답) a=-1

해설) 두 연립방정식의 해가 그래프의 교점과 같다.

step1) 

$$ \left\{\begin{matrix}
2x+3y=1\\ax-2y=-2
\end{matrix}\right. $$ 

의 해가 두 일차방정식의 그래프의 교점이므로, 차근차근 대입만 하도록 하자.

y=3

두 번째 식에는 a가 있어서 x를 구할 순 없으나, 첫 번째 식에 y=3을 대입하면 x를 구할 수 있다.

2x +9 =1

2x = -8

x= -4

따라서 교점은 [-4, 3] 이 나왔다.

 

step2) 두 번째 식도 [-4, 3]을 해로 가져야 하므로, 대입해서 a를 찾으면 되겠다.

-4a -6 = -2

-4a = 4

a= -1

 

 

[출제율 90%, 난이도 ☆☆★★]

문제5) 세 직선 4x-y-3=0, 3x-y-1=0, 2ax-y+1=0 이 삼각형을 만들지 않도록 하는 상수 a 의 값을 모두 구하시오.

 

정답)

해설) 삼각형을 만들지 않는 조건에 대해 정확하게 파악할 수 있어야 한다. 최대한 차근차근 배워보자.

[1] 세 직선을 y=ax +b 형태로 다 바꿔본다.

y=4x -3

y=3x -1

y=2ax +1

세 번째의 그래프는 좌표평면에 표현할 수 없으나, 첫 번째, 두 번째 그래프는 좌표평면에 그려보면서 확인하자. [실제 시험에서는 그래프를 그려서 푸는 문제는 아니다.]

삼각형을 이루지 않으려면, 세 번째 식의 y=2ax +1의 기울기 2a가

y=4x -3와 평행한 4를 기울기로 가지거나,

y=3x -1와 평행한 3을 기울기로 가져야 한다.

2a =4 → a=2

2a = 3 → a=3/2

 

[2] 마지막으로 삼각형을 이루지 않으려면, 세 번째 식 y=2ax +1 이 [y=4x -3, y=3x -1]의 교점을 지나게 되면 되겠다.

교점 구하기

4x -3 = 3x -1

x=2, y=5

교점은 [2, 5] 이다. y=2ax +1이 [2, 5]를 지나면 되겠다.

5= 4a +1

a=1

따라서 a=1, a=2, a=3/2

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- 끝 -