[중3 기본] 5-5. 이차함수 일반형 그래프 [1] 완벽 정복하기!

하이루~ 전 시간까지 이차함수 평행이동에 대해서 공부하고 이번 시간 이차함수 후반부 첫 시작이다. 항상 전 과정에 대한 복습이 잘 되어 있어야 한다.

수식이 깨지는 학생들은 다운로드하시면 됩니다.

※ 티스토리 블로그에서 소괄호가 깨지는 현상이 나타내서, 소괄호를 대괄호 [ ] 이렇게 대체했습니다.

1. 이차함수 $ y=ax^{2}+bx+c $ 의 그래프 그리기

2. 이차함수 $ y=ax^{2}+bx+c $ 의 성질

많은 학생들은 이차함수라 하면, $ y=2x^{2}+4x+6 $ 과 같은 식이 더 익숙할 수도 있다.

하지만, $ y=2x^{2}+4x+6 $ 그래프를 그리라고 하면 바로 그릴 수 있는 학생은 거의 없을 것이라 생각이 든다.

우리는 $ y=2(x+1)^{2}+4 $ 라는 식이 있으면, 그래프를 쉽게 그릴 수 있다.

그래서 우리는 $ y=ax^{2}+bx+c $ 를 $ y=a(x-p)^{2}+q $ 라는 그래프로 바꿔주면 쉽게 그래프를 그릴 수 있을 것 같다. 바꾸는 과정은 예전 이차방정식 풀이 할 때, 제곱근의 성질을 이용하여 풀이와 비슷하다.

※ $ y=ax^{2}+bx+c $ 을 이차함수의 일반형

$ y=a(x-p)^{2}+q $ 를 이차함수의 표준형이라 한다.

예제1) 이차함수 일반형 $ y=2x^{2}+4x+6 $ 식을 표준형으로 바꿔라.

완전제곱 형식으로 표현을 해본다.

$ y= 2(x^{2}+2x+1-1)+6 $

$ y=2(x+1)^{2}+4 $

생각보다 간단하게 표현할 수 있다.

예제2) $ y=\frac{1}{2}x^{2}+3x+4 $ 의 꼭짓점의 좌표, 축의 방정식, y절편을 구하라.

step1) 일반형을 표준형으로 바꾸는 작업

$ y=\frac{1}{2}(x^{2}+6x+9-9)+4 $

$ y=\frac{1}{2}(x+3)^{2}-\frac{1}{2} $

step2) 꼭짓점, 축의 방정식, y절편을 잘 구해보자.

꼭짓점의 좌표 : [-3, -1/2]

y절편 : 4 [x에 0을 넣어서 y의 값을 구한다.]

※ 많은 학생들이 y절편을 -1/2 로 착각하는 경우가 많다. 실수에 주의하도록 하자.

$ y=\frac{1}{2}x^{2}+3x+4 $ 의 그래프에 대한 성질을 조금 더 자세하게 알아보자.

[1] 표준형으로 바꾸면 $ y=\frac{1}{2}(x+3)^{2}-\frac{1}{2} $ 이 되는 것을 위의 문제에서 확인했다.

꼭짓점은 [-3, -1/2] 이고, y절편은 4 이므로 그래프를 제대로 그려보자.

[2] 초기의 함수는 $ y=\frac{1}{2}x^{2} $ 의 그래프이고, x축으로 -3, y축으로 -1/2 만큼 평행이동한 식이다.

[3] 그래프는 제 1사분면, 제 2사분면, 제 3사분면을 지난다. [그래프를 직접 그려서 파악하도록 하자]

[3] 축의 방정식은 x= -3 이고,

x<-3 의 범위에서는 x값이 증가할 때, y값은 감소한다.

x>-3 의 범위에서는 x값이 증가할 때, y값이 증가한다.

[4] x절편을 구하고 싶으면, y=0을 넣어 본다.

$ 0=\frac{1}{2}x^{2}+3x+4 $

이차방정식 꼴이 나와서, 해를 구하면 되겠다.

$ 0=x^{2}+6x+8 $

$ 0=(x+2)(x+4) $

x = -2 or x = -4

- 끝 -